Question

Boa noite. Tudo joia?
07/10/2015
00:16 horas
Por favor me ajude.
Responda a questão.
Com o auxílio da tabela de derivadas imediatas, calcule a função:
y = In(1 + x / 1 - x )

Answer 1

Derivada da soma de funções:

A derivada da soma de funções diferenciáveis é a soma das derivadas
(O mesmo ocorre para a diferença)

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)\pm...\pm z(x)]=f'(x)\pm g'(x)\pm...\pm z'(x)}}$

Derivada de potências:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\cdot x^{n-1}~~~\forall x\in\mathbb{R}}}$

Derivada de constantes:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}c=0}}$

Derivada de ln(x):

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}ln(x)=\dfrac{1}{x}}}$

Regra do quociente:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{[g(x)]^{2}}}}$

Regra da cadeia:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)=\left\dfrac{d}{dx}f(x)\right|_{g(x)}\cdot g'(x)}}$
______________________________

$y=ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$

Se denotarmos f(x) = ln(x) e g(x) = (1 + x) / (1 - x), temos que

$y=f(g(x))=ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$

Que derivamos pela regra da cadeia.

Para simplificar os cálculos, vou achar as derivadas de f e g isoladamente:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}ln(x)~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{x}}}\\\\\\g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\dfrac{(1+x)'\cdot(1-x)-(1-x)'\cdot(1+x)}{(1-x)^{2}}\\\\\\g'(x)=\dfrac{1\cdot(1-x)-(-1)\cdot(1+x)}{(1-x)^{2}}\\\\\\g'(x)=\dfrac{1-x+(1+x)}{(1-x)^{2}}\\\\\\g'(x)=\dfrac{1-x+1+x}{(1-x)^{2}}\\\\\\\boxed{\boxed{g'(x)=\dfrac{2}{(1-x)^{2}}}}$

Então, aplicando a regra da cadeia, temos que

$y'=f'(g(x))\cdot g'(x)\\\\\\y'=\dfrac{1}{g(x)}\cdot\dfrac{2}{(1-x)^{2}}\\\\\\y'=\dfrac{1}{(\frac{1+x}{1-x})}\cdot\dfrac{2}{(1-x)^{2}}\\\\\\y'=\dfrac{1-x}{1+x}\cdot\dfrac{2}{(1-x)^{2}}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=\dfrac{2}{(1+x)(1-x)}}}$