Question

Boa noite, socorro 40 pontos para quem me ajudar.
Prove ( use tabela de pertinência ou dupla implicação ou identidade básica de conjuntos)
a) A ∩ ( B-A)= ∅
b) A ∪ ( B -A) = A ∪ B
c) ( A - B) - C ⊆ ( A - C)
d) ( A- C) ∩ ( C- B) =∅

Answer 1

a) A ∩ (B - A)= ∅

A intersecção de um conjunto A com o conjunto (B - A) é igual ao conjunto vazio.

Sejam A = {a, b, c} e B = {c, d, e}

A ∩ (B - A) = {a, b, c} ∩ {d, e} = ∅

Se (B - A) é o conjunto com elementos exclusivos de B, sem nenhum elemento de A, a intersecção deste com A é o conjunto vazio, pois não existem elementos em comum.

b) A ∪ (B - A) = A ∪ B

A união de um conjunto A com o conjunto (B - A) é igual a união do conjunto A com o conjunto B.

Sejam A = {a, b, c} e B = {c, d, e}

A ∪ B = {a, b, c, d, e}
A ∪ (B - A) = {a, b, c} ∪ {d, e} = {a, b, c, d, e}

Logo, A ∪ (B - A) = A ∪ B

Se (B - A) é o conjunto com elementos exclusivos de B, sem nenhum elemento de A, a união deste com A é a junção de todos os elementos de A com todos os elementos de B que não estão em A, o que resulta na união entre A e B.

c) (A - B) - C ⊆ (A - C)

A diferença entre o conjunto (A - B) e o conjunto C é um subconjunto (ou está contido) a diferença entre o conjunto A e o conjunto C.

Sejam A = {a , b , c, d}, B = {c, d, e, f} e C {e, f, g, h}

(A - B) - C = {a, b} - {e, f, g, h} = {a, b}
(A - C) = {a, b, c, d}

Logo, (A - B) - C ⊆ (A - C)

A diferença entre A e B é o conjunto que possui elementos exclusivos de A, e a diferença entre esse conjunto e C continua sendo o conjunto com elementos exclusivos de A. A diferença entre A e C é o conjunto com elementos exclusivos de A. Portanto, é correto afirmar que é verdade que (A - B) - C está contido em (A - C).

d) (A - C) ∩ (C - B) = ∅

A intersecção entre o conjunto (A - C) e o conjunto (C - B) é igual ao conjunto vazio.

Sejam A = {a , b , c, d}, B = {c, d, e, f} e C {e, f, g, h}

(A - C) = {a, b, c, d}
(C - B) = {g, h}

Logo, (A - C) ∩ (C - B) = ∅

Se o conjunto (A - C) possui elementos exclusivos de A e o conjunto (C - B) possui elementos exclusivos de C, para quaisquer conjuntos A, B e C, a igualdade acima é valida.