Question

Boa noite, procuro a derivada de $y=\frac{2x^2-1}{x\sqrt{1+x^2}}$ meu professor passou a resposta, $\frac{dx}{dy}=\frac{1+4x^2}{x^2\sqrt{(1+x^2)^3}}$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2\sqrt{(1+x^2)^3}}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a derivada da função racional $y=\dfrac{2x^2-1}{x\sqrt{1+x^2}}$, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

São elas:

• A derivada do quociente é dado pela fórmula $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia: $(f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto é calculado pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, logo $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Derive ambos os lados

$y'=\left(\dfrac{2x^2-1}{x\sqrt{1+x^2}}\right)'$

Aplique a regra do quociente

$y'=\dfrac{(2x^2-1)'\cdot x\sqrt{1+x^2}-(x\sqrt{1+x^2})'\cdot(2x^2-1)}{(x\sqrt{1+x^2})^2}$

Aplique a regra da soma e do produto

$y'=\dfrac{((2x^2)'-(1)')\cdot x\sqrt{1+x^2}-(x'\cdot \sqrt{1+x^2}+x\cdot (\sqrt{1+x^2})')\cdot(2x^2-1)}{(x\sqrt{1+x^2})^2}$

Aplique a regra da potência, a regra da constante e a da função composta, lembrando que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$:

$y'=\dfrac{2\cdot 2x\cdot x\sqrt{1+x^2}-\left(\sqrt{1+x^2}+x\cdot (1+x^2)' \cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\right)\cdot(2x^2-1)}{(x\sqrt{1+x^2})^2}$

Aplique mais uma vez a regra da soma e da constante e multiplique os valores

$y'=\dfrac{4x^2\sqrt{1+x^2}-\left(\sqrt{1+x^2}+x\cdot 2x \cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\right)\cdot(2x^2-1)}{(x\sqrt{1+x^2})^2}\\\\\\\ y'=\dfrac{4x^2\sqrt{1+x^2}-\left(\sqrt{1+x^2}+ \dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\right)\cdot(2x^2-1)}{(x\sqrt{1+x^2})^2}$

Então, some as frações entre parênteses (isso facilitará um pouco)

$y'=\dfrac{4x^2\sqrt{1+x^2}-\left(\dfrac{(\sqrt{1+x^2})^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\right)\cdot(2x^2-1)}{(x\sqrt{1+x^2})^2}$

Calcule as potências e some os valores

$y'=\dfrac{4x^2\sqrt{1+x^2}-\left(\dfrac{1+x^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\right)\cdot(2x^2-1)}{x^2(1+x^2)}\\\\\\\ y'=\dfrac{4x^2\sqrt{1+x^2}-\left(\dfrac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}\right)\cdot(2x^2-1)}{x^2(1+x^2)}$

Observe que ao multiplicarmos as frações, estamos calculando um produto da soma pela diferença. Neste caso, teremos

$y'=\dfrac{4x^2\sqrt{1+x^2}-\dfrac{4x^4-1}{\sqrt{1+x^2}}}{x^2(1+x^2)}$

Some as frações no numerador

$y'=\dfrac{\dfrac{4x^2(\sqrt{1+x^2})^2-(4x^4-1)}{\sqrt{1+x^2}}}{x^2(1+x^2)}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores, simplificando a fração

$y'=\dfrac{4x^2(1+x^2)-4x^4+1}{x^2(1+x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}}\\\\\\ y'=\dfrac{4x^2+4x^4-4x^4+1}{x^2(1+x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}}$

Some os termos semelhantes

$y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2(1+x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}}$

Observe que podemos reescrever o radical no denominador com expoente fracionário (para o qual voltaremos mais tarde):

$y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2(1+x^2)\cdot (1+x^2)^{\frac{1}{2}}}$

Então, pela propriedade do produto de potências de mesma base, $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, teremos

$y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2(1+x^2)^{1+\frac{1}{2}}}$

Some os valores no expoente

$y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2(1+x^2)^{\frac{2+1}{2}}}\\\\\\ y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

A partir disso, utilizando novamente a propriedade de expoentes fracionários $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, temos que

$y'=\dfrac{4x^2+1}{x^2\sqrt{(1+x^2)^3}}$

Esta é a derivada desta função.