Question

Boa Noite... Poderiam me ajudar a Resolver essa questão!
Petrobras 2010.
Fluxo de Calor!

Um forno, construído com tijolos e concreto, quando em funcionamento, tem sua temperatura praticamente uniforme e
igual a 270 °C. As paredes desse forno são compostas de uma camada tripla, feita de dois materiais, conforme ilustra a
figura abaixo, que representa uma seção transversal do forno.

Dados:
- Condutibilidade térmica do tijolo Ktijolo = 1,5. 10-3
cal/s.cm.°C
- Condutibilidade térmica do concreto Kconcreto= 2,0. 10-3
cal/s.cm.°C
Sabendo-se que a área de cada parede é de 1,5 m2
e que a temperatura da região externa é 20 °C, a quantidade de calor,
em kcal, que atravessa uma das paredes do forno a cada 1,0 s, supondo-se em regime estacionário, é

Answer 1

Olá!

Vamos calcular a quantidade de calor que atravessa uma das paredes do forno em 1 s. Temos que a região interna do forno, em branco, está à 270°C, e a região de concreto da parede tem espessura de 20cm (30cm - 5cm - 5cm).
Se a parede do forno está em regime estacionário de condução, todas as secções têm fluxo de calor constante e igual. Assim sendo, pela Lei de Fourier:
$\phi=\dfrac{k_t\,A\,(\theta_1-\theta_2)}{\ell_t}=\dfrac{k_c\,A\,(\theta_2-\theta_3)}{\ell_c}=\dfrac{k_t\,A\,(\theta_3-\theta_4)}{\ell_t}$
em que:
φ é o fluxo de calor;
kt, o coeficiente de condutibilidade térmica do tijolo;
kc, o coeficiente de condutibilidade térmica do concreto;
A, a área da secção transversal da parede;
ℓt, a espessura da parede de tijolo;
ℓc, a espessura da parede de concreto;
θ1, θ2, θ3 e θ4, as temperaturas das respectivas áreas de contato entre diferentes regiões, indicadas na imagem em anexo.

Substituindo os dados na equação:
$\phi=\dfrac{k_t\,A\,(\theta_1-\theta_2)}{\ell_t}=\dfrac{k_c\,A\,(\theta_2-\theta_3)}{\ell_c}=\dfrac{k_t\,A\,(\theta_3-\theta_4)}{\ell_t}\\\\\phi=\dfrac{1{,}5.\not{\!\!\!10^{-3}}\,\!\!\not{\!\!A}\,(270-\theta_2)}{5}=\dfrac{2.\not{\!\!\!10^{-3}}\,\!\!\not{\!\!A}\,(\theta_2-\theta_3)}{20}=\dfrac{1{,}5.\not{\!\!\!10^{-3}}\,\!\!\not{\!\!A}\,(\theta_3-20)}{5}\\\\\phi=\dfrac{1{,}5\,(270-\theta_2)}{5}=\dfrac{2\,(\theta_2-\theta_3)}{20}=\dfrac{1{,}5\,(\theta_3-20)}{5}$

Através dessa equação podemos montar o seguinte sistema de equações:
$\begin{matrix}(1)\\\\\\(2)\end{matrix}\begin{cases}\dfrac{1{,}5\,(270-\theta_2)}{5}=\dfrac{2\,(\theta_2-\theta_3)}{20}\\\\\dfrac{1{,}5\,(270-\theta_2)}{5}=\dfrac{1{,}5\,(\theta_3-20)}{5}\end{cases}$

De 1:
$\dfrac{1{,}5\,(270-\theta_2)}{5}=\dfrac{2\,(\theta_2-\theta_3)}{20}\\\\0{,}3(270-\theta_2)=0{,}1(\theta_2-\theta_3)\\\\3(270-\theta_2)=\theta_2-\theta_3\\\\810-3\theta_2=\theta_2-\theta_3\\\\810=4\theta_2-\theta_3\qquad(3)$

De 2:
$\dfrac{1{,}5\,(270-\theta_2)}{5}=\dfrac{1{,}5\,(\theta_3-20)}{5}\\\\270-\theta_2=\theta_3-20\\\\290=\theta_3+\theta_2\qquad(4)$

Somando as equações 3 e 4:
$(810)+(290)=(4\theta_2-\theta_3)+(\theta_3+\theta_2)\\\\1100=5\theta_2\\\\\theta_2=220\,^\circ\text{C}$

Se o fluxo de calor é constante ao longo da parede (regime estacionário), basta-nos calcular o fluxo em uma só região para obtermos o que se pede.
Lembrando que: 1,5 m² = 1,5.10⁴ cm².
$\phi=\dfrac{k_t\,A\,(\theta_1-\theta_2)}{\ell_t}\\\\\phi=\dfrac{1{,}5.10^{-3}\cdot1{,}5.10^4\cdot(270-220)}{5}\\\\\phi=2{,}25.10^2\,\text{cal/s}$

O fluxo de calor pode ser expresso da seguinte maneira:
$\phi=\dfrac{Q}{\Delta{t}}$
em que Q é a quantidade de calor que flui por determinada secção transversal no intervalo de tempo Δt.

Finalmente, a quantidade de calor que atravessa a parede do forno a cada 1 segundo:
$\phi=\dfrac{Q}{\Delta{t}}\\\\Q=\phi\cdot\Delta{t}\\\\Q=2{,}25.10^2\cdot1\\\\Q=2{,}25.10^2\,\text{cal}\\\\Q=2{,}25.10^{-1}\,\text{kcal}\\\\\boxed{Q=0{,}225\,\text{kcal}}$

Alternativa b).

Se houver dúvidas, comente. Espero ter ajudado!