Question

Boa noite. Pode ajudar num passo a passo com essa questão por favor?

limite (x+4)^x / (x-3), com x tendendo ao infinito

Answer 1

Resposta:$\lim_{x \to \infty} (\frac{(x+4)^{x}}{x-3})=\infty$

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esse limite, você deverá entender sobre:

1º Regra de L'Hôpital;

2º Derivação por partes;

3º Derivada da multiplicação de funções.

Aplicando diretamente o limite, percebe-se que ocorre um caso de $\lim_{x \to \infty} (\frac{(x+4)^{x}}{x-3})$

∞+4=∞, ∞-3=∞, ∞^∞=∞ logo, (∞+4)^∞/(∞-3)=∞/∞.

Quando ocorre isso, devemos utilizar o 1º item.

$\lim_{x \to \infty} (\frac{f(x)}{g(x)})= \lim_{x \to \infty} (\frac{f'(x)}{g'(x)})$

$g(x)=x-3\\\\\frac{d(g(x))}{dx} =\frac{d(x-3)}{dx}=\frac{dx}{dx}+\frac{d(-3)}{dx}$

A derivada de uma consante é 0 e a derivada de x é 1, logo:

$\frac{d(g(x))}{dx} =\frac{dx}{dx}+\frac{d(-3)}{dx} =1+0=1$

Para derivarmos f(x), faremos a seguinte substituição:

$f(x)=(x+4)^x=e^{xln(x+4)$ onde "e" é a constante de euler, e "ln" é o logaritmo de base e.

Utilizaremos o 2º e o 3º item para derivarmos f(x).

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$ (2º item)

$\frac{d(yz)}{dx}=y\frac{dz}{dx} +z\frac{dy}{dx}$ (3º item)

Logo: $\frac{d(f(x))}{dx} =\frac{d(e^{xln(x+4)})}{dx}= \frac{d(e^{xln(x+4)})}{d(xln(x+4))}*\frac{d(xln(x+4)}{dx}$

Substituindo: x*ln(x+4)=y

$\frac{d(e^{y})}{dy}*\frac{d(xln(x+4)}{dx}$

Sabendo que: $\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$ e $\frac{d(lnx)}{dx}=\frac{1}{x}$, então:

$\frac{d(e^{y})}{dy}*\frac{d(xln(x+4)}{dx}=e^y(x\frac{d(ln(x+4))}{d(x+4)}*\frac{d(x+4)}{dx}+ln(x+4)\frac{dx}{dx})$(usando o item 1º e o 2º)

$e^{y}(x*\frac{1}{x+4}*1+ln(x+4)*1)=((x+4)^{x})(\frac{x}{x+4}+ln(x+4))=\\ =((x+4)^{x})(\frac{x+4}{x+4}-\frac{4}{x+4} +ln(x+4))=\\((x+4)^{x})(1-\frac{4}{x+4} +ln(x+4))$

Aplicando o limite na expressão encontrada, sabendo os limites:

$\lim_{x \to \infty}(ln(x))=\infty$

$\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x})=0$

$\lim_{x \to \infty}( (x+4)^{x}(1-\frac{4}{x+4} +ln(x+4)))=((\infty+4)^{\infty})(1-\frac{4}{\infty+4}+ln(\infty+4))\\ \infty(1-0+\infty)=\infty(\infty+1)=\infty$

Logo: $\lim_{x \to \infty} (\frac{(x+4)^{x}}{x-3})=\infty$

Usando o 1º, 2º e 3º itens, e mais umas regras adicionais, citadas acima.

Espero ter ajudado, qualquer dúvida, ou necessidade de demonstração de algumas das relações utilizadas, pode me mandar mensagem que te respondo.