Question

Boa noite! Gostaria de ajuda nesta questão:O ponto P é interior ao retângulo ABCD tal que PA=3, PB=4 e PC=5.A área do círculo de centro em P e raio PD é:A)18piB)5 vezes Raizde3 vezes piC)7 vezes raizde3 vezes piD)25piE)16pi

Answer 1

(Veja o anexo)

Vamos criar uma cópia do triângulo APD no lado BC e chame o vértice faltante de S, passe uma reta paralela ao lado AB passando por P e S e chame o cruzamento de PS com BC de Q.

Note que BC e PS são perpendiculares pois os triângulos APD e BSC são congruentes (pois são cópias) e têm bases AD e BC paralelas, logo suas alturas são colineares. Portanto podemos usar o teorema de Pitágoras nos triângulos BQP, BQS, PQC e QCS:


BQ² + QP² = 16 (i)
BQ² + QS² = 9 (ii)
CQ² + QP² = 25 (iii)
CQ² + QS² = X² (iv)
                 

Subtraindo (ii) de (i) vem:

QP² - QS²= 7 (v)

De (iii) temos:

CQ² = 25 - QP² (vi)

Substituindo (vi) em (iv) vem:

25 – QP² + QS² = X²

25 +  QS² – QP²  = X²  

25 - (QP² - QS²) = x² (vii)

Substituindo (v) em (vii) vem:

25 - 7 = x²

x² = 18

Como x será o raio do círculo descrito, a sua área será:

Área = π·x²

∴ Área = 18π

 

PS. Questão muito boa! Deu um trabalhão achar a solução!