Question

Boa noite!

Estou precisando de ajuda em uma questão sobre Princípio de Indução Finita. Só falta essa questão para que eu termine minha lista de exercícios avaliativa. Por favor, me ajudem!!

A questão está em anexo. Obrigada! ^^

Answer 1

Vamos considerar $B=\{n\in \mathbb{N}\;|\;(n+3)!>2^{n+3}\}$. Partindo do pressuposto que $n\in B$, vamos provar que $n+1\in B$:

$[(n+1)+3]!>2^{(n+1)+3}$

$(n+4)!>2^{n+4}$

$(n+4)\cdot(n+3)!>2\cdot2^{n+3}$

Sendo $(n+3)!>2^{n+3}$, a única possibilidade de $(n+4)\cdot(n+3)!>2\cdot2^{n+3}$ ser falso é se $n+4<2$. No entanto, $n+4>4$ visto que $n\geq 1$, logo $n+1\in B$.

O número 1 pertence a $B$ pois $4!>2^4$ e, como $n+1$ também pertence a $B$, concluímos que $B=\mathbb{N}$, provando assim a desigualdade inicial.