Question

Boa Noite!
Determine o vetor gradiente da função f(x,y) = x.y² + ex.y elevado,no ponto P (1,1).

Answer 1

$f(x,y)= xy^2+e^{xy}\\\\\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 1*y^2+e^{xy}*(1*y) = y^2+ye^{xy}\\\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x*2y+e^{xy}*(x*1)=2xy+xe^{xy}$

o vetor gradiente é 
$\vec \nabla f(x,y)= \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} , \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \\\\ \boxed{\boxed{\vec \nabla f(x,y)= \left(y^2+ye^{xy}\right) , \left(2xy+xe^{xy} \right)}}$

no ponto P(1,1)
$\vec \nabla f(P)=\nabla f(1,1)= \left(1^2+1*e^{1*1}\right) , \left(2*1*1+1*e^{1*1} \right)\\\\\ \vec \nabla f(P)=(1+e), (2+e)$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 1) = (3,72,\,4,72)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x, y) = xy^{2} + e^{xy}\\P(1, 1)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (y^{2} + ye^{xy}) \,\vec{i} + (2xy + xe^{xy})\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2) = (1^{2} + 1\cdot e^{1\cdot1})\,\vec{i} + (2\cdot1\cdot1 + 1\cdot e^{1\cdot1})\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1 + e)\,\vec{i} + (2 + e)\,\vec{j}\end{gathered}$

         Se e = 2,72, então, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = (1 + 2,72)\,\vec{i} + (2 + 2,72)\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3,72\,\vec{i} + 4,72\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (3,72,\,4,72)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = (3,72,\,4,72)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

   

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/46504741
2. https://brainly.com.br/tarefa/1385589
3. https://brainly.com.br/tarefa/4010375
4. https://brainly.com.br/tarefa/3972390
5. https://brainly.com.br/tarefa/3824858
6. https://brainly.com.br/tarefa/7629984
7. https://brainly.com.br/tarefa/7462463
8. https://brainly.com.br/tarefa/7462461
9. https://brainly.com.br/tarefa/51487156