Question

Boa noite, alguém saberia responder essa questão?
Verifique quais dos seguintes subconjuntos de ℝ3 são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostre que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, cite um
contraexemplo.
(A)S= {(x,y,z); y=0 e z=7x};

Answer 1

Verificando se a soma é uma operação fechada em S:

$\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2, \,\,y_1+y_2,\,\,z_1+z_2)$

1. Da descrição do subconjunto, sabemos que a segunda coordenada é nula, portanto y1+y2 continuará sendo nulo.
   
2. $z_1=7x_1\,\, z_2=7x_2, \Longrightarrow z_1+z_2=(7x_1+7x_2)=7(x_1+x_2)$

Portanto, a soma é fechada. Agora analisando a multiplicação:

$\alpha.\vec{u}=(\alpha.x,\,\,\alpha.y,\,\,\alpha.z)$

1. Se y vale zero, independente do escalar alfa, a segunda coordenada continuará nula.
2. z vale sete vezes a primeira coordenada, portanto ao multiplicar todas as coordenadas por alfa a propriedade continua valendo.

S é subespaço de R^3