Question

Boa noite. Alguem disponivel para e ajudar nesta questão da faculdade???é sobre derivada.
Obtenha a derivada f(x)=y dado que $y^{2} +\sqrt{x^{2}+cos(2x+y) } +5x^{3} +xy=3xy$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos usar a derivada implícita, e as regras de derivação (regra do produto, derivada da composta...) para resolver seu problema. Vamos la! (só mais uma observação, vamos usar a notação de Newton na resolução).

Primeiro, como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, vamos calcular a derivada de cada parcela de soma separadamente e no final somamos tudo.

Então, inicialmente calcularemos a derivada de $y^2$. Como a variável da função $f(x)=y$ é o $x$, usaremos a derivada implícita. Dessa forma:

                                          $(y^2)'=2y \cdot y'$   (*)

Pronto, a primeira já foi. Vamos deixar esta raiz por ultimo, pois é mais complicadinha :)

Agora a derivada de $5x^3$, essa é mais fácil pois já está na variável correta.

                                       $(5x^3)'=15x^2$           (**)

Agora a derivada de $xy$ usando a regra do produto e a implícita:

                                    $(xy)'=1\cdot y+y' \cdot x\\(xy)'=y+x\cdot y'$        (***)

Quase finalizando, vamos calcular a derivada de $3xy$. Essa é simples, pois já calculamos a derivada de $xy$. Portanto:

                                  $(3xy)'=3\cdot (y+x \cdot y')\\(3xy)'=3y+3x\cdot y'$            (****)

Agora sim, vamos finalizar quebrando um pouco a cabeça para calcular a derivada desta raiz "pequenininha" dada. Para isto, inicialmente lembre que

$\sqrt{x^2+cos(2x+y)}=(x^2+cos(2x+y))^\frac{1}{2}$. Assim, para calcular esta derivada, vamos usar a derivada da função composta e a da implícita. Desta forma:       $(\sqrt{x^2+cos(2x+y)})'=\dfrac{1}{2} \cdot[(x^2+cos(2x+y)]^{-\frac{1}{2}} \cdot[2x+(-sen(2x+y) \cdot (2+y')]\\\\\\(\sqrt{x^2+cos(2x+y)})'=\dfrac{2x-[(2+y') \cdot sen(2x+y)]}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} }\\\\(\sqrt{x^2+cos(2x+y)})'=\dfrac{2x-2sen(2x+y)-y' \cdot sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} }$(I)

Ufa! falei que essa ia dar um pouco de trabalho. Mas finalmente conseguimos a derivada da equação. Ou seja, a derivada da equação dada será dada por (*) + (I) + (**) + (***) = (****), isto é:

$2y \cdot y'+ \dfrac{2x-2sen(2x+y)-y'\cdot sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} } +15x^2+y+x \cdot y'=3y+3\cdot y'$

Agora, como desejamos a derivada de $y$, ou seja $y'$, precisamos isolar ele. Para isso, vamos organizar a equação de modo que consigamos coloca-lo em evidencia. Assim:

$2y \cdot y'+\dfrac{2x-2sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} } - \dfrac{y'\cdot sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)}} +x\cdot y'-3 \cdot y'=3y-15x^2-y$

$2y \cdot y' - \dfrac{y'\cdot sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)}} +x\cdot y'-3 \cdot y'=3y-15x^2-y - \dfrac{2x-2sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} }$

$y' \cdot \left[2y- \dfrac{sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} } +x-3 \right]=3y-15x^2-y - \dfrac{2x-2sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} }$

$y'=\left[3y-15x^2-y - \dfrac{2x-2sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} }\right] \cdot \left[ \dfrac{1}{2y} -\dfrac{2 \cdot \sqrt{ x^2+cos(2x+y)} }{sen(2x+y)}+\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{3} \right]$

$y'=\left[2y-15x^2 - \dfrac{2x-2sen(2x+y)}{2 \cdot \sqrt{x^2+cos(2x+y)} }\right] \cdot \left[ \dfrac{1}{2y} -\dfrac{2 \cdot \sqrt{ x^2+cos(2x+y)} }{sen(2x+y)}+\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{3} \right]$

E assim está resolvida sua questão, o que ainda poderia ser feito aí seria resolver essa multiplicação que restou, porém não é necessário, este já é um resultado satisfatório.