Question

Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função t, em anos, de acordo com a relação P=250×(1, 2)t^5, sendo t=0 o momento em que o estudo foi iniciado. Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados: log 2= 0, 3 e log= 0, 48. )

Answer 1

A população P de aves cresce de acordo com a função $\mathsf{P(t)=250\,.\,(1,2)^{t/5}}$

Fazendo t = 0, teremos a quantidade inicial de aves.

$\mathsf{P(0)=250\,.\,(1,2)^{0/5}}\\ \\ \\ \mathsf{P(0)=250\,.\,(1,2)^{0}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\boxed{\mathsf{P(0)=250}}}$

Para triplicar teremos 3 . P(0), o que implica em:

$\mathsf{3\,.\,P(0)=250\,.\,(1,2)^{t/5}}\\ \\ \\ \mathsf{3\,.\,250=250\,.\,(1,2)^{t/5}}\\ \\ \\ \mathsf{3=(1,2)^{t/5}}\\ \\ \\ \mathsf{log\,\,3=log\,\,(1,2)^{t/5}}$

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Temos as seguintes propriedades:

$\mathsf{log_{b}(a)^{x}\,=\,x\,.\,log_{b}a}\\ \\ \\ \mathsf{log_{b}(a\,.\,c)=log_{b}\,a\,\,+\,\,log_{b}\,c}\\ \\ \\ \mathsf{log_{b}(a/c)=log_{b}\,a\,-\,log_{b}c}$

Podemos escrever 1,2 como:

$\mathsf{1,2=\dfrac{12}{10}=\boxed{\mathsf{\dfrac{6}{5}}}}$

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Ficamos com o seguinte:

$\mathsf{log\,\,3=log\,\,(1,2)^{t/5}}\\ \\ \\ \mathsf{log\,\,3=\dfrac{t}{5}\,.\,log\,\,\,(6/5)}\\ \\ \\ \mathsf{log\,\,3=\dfrac{t}{5}\,\,(log\,\,6-log\,\,5)}\\ \\ \\ \mathsf{log\,\,3=\dfrac{t}{5}\,\,\bigg[log\,\,\big(2\,.\,3\big)-log\big(10/2\big)\bigg]}\\ \\ \\ \mathsf{log\,\,3=\dfrac{t}{5}\,.\,\bigg\[\big[\big(log\,\,2\,+\,log\,\,3\big)-\big(log\,\,10-log\,\,2\big)\big]\bigg\]}$

Substituindo os valores ficamos com:

$\mathsf{0,48=\dfrac{t}{5}\,.\,\big[(0,3+0,48)-(1-0,3)\big]}\\ \\ \\ \mathsf{0,48=\dfrac{t}{5}\,.\,(0,78-0,7)}\\ \\ \\ \mathsf{t=\dfrac{5\,.\,0,48}{0,08}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{\mathsf{t=30}}}}$

Sendo t em anos, teremos que a população triplicará pós 30 anos.