Question

BINÔMIO DE NEWTON :
Considere o binômio (x^2 - 1/x)^4, com x ≠ 0.
A) Desenvolva-o
B)Qual é o valor obtido para x =1? E para x=2?

Answer 1

Questão A-

O Binômio de Newton é definido conforme a seguinte expressão:
${(a+b)}^{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n,k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}$

Onde
$C_{n,k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Binômio a ser desenvolvido:
$\boxed{{(x^2-x^{-1})}^{4}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{4} C_{n,k}\cdot (x^2)^{n-k}\cdot (-x^{-1})^{k}}$

Por questões práticas, irei desenvolver este binômio por partes. Observe:

Encontrando todas as combinações:
$C_{4,0}= \frac{4!}{0! \cdot (4-0)!} = 1\\ \\ C_{4,1}= \frac{4!}{1! \cdot (4-1)!} = 4\\ \\ C_{4,2}= \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = 6 \\ \\ C_{4,3}= \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = 4\\ \\ C_{4,4}= \frac{4!}{4! \cdot (4-4)!} = 1$

Desenvolvendo todos os termos:
$t_{0} = C_{4,0} \cdot (x^2)^{4-0} \cdot (-x^{-1})^0 = x^8 \\ \\ t_{1}= C_{4,1} \cdot (x^2)^{4-1} \cdot (-x^{-1})^1 = -4x^5\\ \\ t_{2}= C_{4,2} \cdot (x^2)^{4-2} \cdot (-x^{-1})^2 = 6x^2\\ \\ t_{3}= C_{4,3} \cdot (x^2)^{4-3} \cdot (-x^{-1})^3 =- \frac{4}{x} \\ \\ t_{4}= C_{4,4} \cdot (x^2)^{4-4} \cdot (-x^{-1})^4 = \frac{1}{x^4}$

Portanto, o desenvolvimento deste binômio resultará em
$\boxed{(x^2-x^{-1})^4= x^8-4x^5+ \frac{1}{x^4} + 6x^2- \frac{4}{x}}$

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Questão B-

Para encontrar os valores para x= 1 basta substituir esta informação na expressão. Observe:
$x^8-4x^5+ \frac{1}{x^4} + 6x^2- \frac{4}{x} \\ \\ \\ se ~ x= 1: \\ \\ \\ (1)^8-4 \cdot (1)^5 + \frac{1}{(1)^4} + 6 \cdot (1)^2- \frac{4}{1} \\ \\ \\ 1-4+1+6-4 \\ \\ \boxed{0}$

O mesmo método serve para x= 2. Perceba:

$x^8-4x^5+ \frac{1}{x^4} + 6x^2- \frac{4}{x} \\ \\ \\ se ~ x= 2: \\ \\ \\ (2)^8-4 \cdot (2)^5 + \frac{1}{(2)^4} + 6 \cdot (2)^2- \frac{4}{2} \\ \\ \\ 256-128+ \frac{1}{16} +24-2 \\ \\ \boxed{ \frac{2401}{16} \approx 150,06 }$