Question

Binômio de Newton (30 pontos!!!!): Calcule o coeficiente de $x^{3}$ em (3x-$\frac{1}{x} )^{5}$

x^3 em (3x-1/x)^5 PS.:::::: galera eu quero com a fórmula por favor

Answer 1

O que queremos é o segundo termo, pois ao multiplicarmos 3x por (-1/x), ocorre uma divisão entre o "x" do numerador com o do denominador, o que implica na subtração do expoente do "x" do numerador.


Fórmula para conhecer o coeficiente do "n" termo:

$T_{k \ + \ 1} \ = \ (^n_k) \ a^{n \ - \ k} \ . \ b^k$

a = 3x
b = -1/x
n = 5
k = 1

Obs: O valor de k é 1 unidade menor que a posição do termo.

Como queremos o segundo termo, temos:

k = 2 -1 = 1


$T_{1 \ + \ 1} \ = \ (^5_1) \ . \ (3x)^{5 \ - \ 1} \ . \ (-\frac{1}{x})^1$

$T_{2} \ = \ (^5_1) \ . \(3x)^{4} \ . \ (-\frac{1}{x})$


Resolvendo $(^5_1)$:

$(^5_1) \ = \ \frac{5!}{1! \ . \ (5 \ - \ 1)!}$

$(^5_1) \ = \ \frac{5!}{1 \ . \ 4!}$

$(^5_1) \ = \ \frac{5 \ . \ \not{4!}}{\not{4!}}$

$(^5_1) \ = \ 5$


Substituindo:

$T_{2} \ = \ (^5_1) \ . \ (3x)^{4} \ . \ (-\frac{1}{x})$

$T_{2} \ = \ 5 \ . \ 81x^{4} \ . \ (-\frac{1}{x})$

$T_{2} \ = \ 405x^{4} \ . \ (-\frac{1}{x})$

$T_{2} \ = -\frac{405x^{4}}{x}$

$T_{2} \ = \boxed{\bold{-405x^{3}}}$


O coeficiente de x³ é -405.