Question

Baseado no desenho
A que distância de A
deve ser marcado
o ponto P, de modo
que o retângulo tenha
a área de 48m2?





a) 4 ou 6m b) 5 ou 7m
e) 6 ou 8m d) 7 ou 9m
e 8 ou 10m​

Answer 1

Resposta:

e) O ponto P pode ser marcado à distância ,de 6 ou de 8 m, do ponto A.

Explicação passo a passo:

Este exercício pode ser resolvido de várias maneiras.

A que escolhi vai ter como referência o Teorema de Tales.

Peço que olhe para a figura que coloquei em anexo,

A reta que inclui o segmento de reta [AC] é paralela à reta que inclui o

segmento de reta [PQ].

Prova-se que assim é porque [AC] // [PQ] são lados opostos do retângulo

aqui desenhado.

Já as retas que incluem [BC] e [BA] são obliquas.

E intersetam as duas outras retas paralelas.

Pelo Teorema de Tales:

$\frac{PQ}{AC}=\frac{PB}{AB}$

$\frac{PQ}{14}=\frac{14-x}{14}$

Agora, nem faço produto cruzado.

Quando tenho duas frações em que os denominadores são iguais, para que

as frações sejam iguais, basta-lhes terem os numeradores iguais.

[PQ] = 14 - x

Mas queríamos que [PQ] * x = 48 m²

Temos duas varáveis e duas equações.

Montar um sistema de duas equações a duas incógnitas.

{ [PQ] = 14 - x

{ [PQ] * x = 48

Usando o método de substituição

{ [PQ] = 14 - x

{ ( 14 - x ) * x = 48

⇔

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

algébrica ( inclui adição e subtração ), vulgarmente conhecida pela "regra

do chuveirinho"

{ [PQ] = 14 - x

{ 14x - x² = 48

 

Resolvendo a segunda equação, pela Fórmula de Bhascara

- x² + 14x - 48 = 0       equação do 2º grau

Observação → Coeficientes "escondidos"

O coeficiente "a" = um sinal " menos". Mas quando assim é o coeficiente

é  " - 1 "

x = ( - b ± √Δ ) / 2a   para a; b ; c ∈ |R  e Δ = b² - 4 * a * c  também a ≠ 0

a = - 1

b =  14

c = - 48

Δ = 14² - 4 * ( - 1 ) * (- 48 ) = 196 - 192 = 4

√Δ = √4 = 2

x1 = ( - 14 + 2 ) / ( 2* ( -1 ))

x1 = - 12 / ( - 2 )

x1 = 6

x2 =  ( - 14 - 2 ) / ( 2* ( -1 ))

x2 = - 16 / ( - 2 )

x2= 8

Pegando na primeira equação

{ [PQ] = 14 - x

se x = 6   então  [PQ] = 8  

se x = 8   então  [PQ] = 6

O ponto P pode ser marcado à distância de 6 ou de 8 m, do ponto A.

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Outro método para resolver a equação do 2º grau

- x² + 14x - 48 = 0  

Prova-se que a equações do 2º grau podem apresentar a seguinte forma

x² - Sx + P = 0

S = - b / a   ( soma das raízes )

P =   c / a   ( produto das raízes )

S = - 14 / (- 1 ) = 14

P = - 48 / ( - 1 ) = 48

Por tentativas ou perspicácia chegamos a:

6 + 8 = 14

6 * 8 = 48

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação    ( / ) divisão    ( Δ ) " delta " letra grega

( ∈ ) pertence a     ( ≠ ) diferente de    ( |R ) conjunto  dos números reais

( x1 ; x2 ) designações dadas às raízes da equação do 2º grau