Question

(Banco Simave) Considere o sistema de equações lineares. 2x + 4y — 3z = 8 x — 6y = –4 x + 7y + 8z = 9 ∙ Qual das triplas ordenadas (x, y, z) seguintes é solução desse sistema? a) (1, 2, 0). b) (2, 1, 0). c) (4, 5, 5). d) (3, – 5, 16).

Answer 1

Letra c) (4, 5, 5) , é a tripla ordenada que é solução deste problema

O sistema linear 2x + 4y — 3z = 8 x — 6y = –4 x + 7y + 8z = 9  pode ser escrito da seguinte forma:

2x + 4y — 3z = 9

8 x — 6y = 9

–4 x + 7y + 8z = 9

Podemos então resolve-lo de duas formas:

Forma 1) Substituindo os valores das triplas ordenadas nas alternativas em qualquer uma das equações.

Se a tripla ordenada for solução de uma equação, então ela é solução de todas (exceto se a questão estiver errada, o que anularia a questão)

Portanto, vejamos 2x + 4y — 3z = 9

Letra a) (1, 2, 0) --> 2 + 8 — 0 = 10 (falso)

Letra b) (2, 1, 0) --> 4 + 4 — 0 = 8 (falso)

Letra c) (4, 5, 5) --> 8 + 20 — 15 = 9 (verdadeiro)

Outra forma de solucionar é pelo método tradicional (supondo que você não tivesse as alternativas):

2x + 4y — 3z = 9

8 x — 6y = 9

–4 x + 7y + 8z = 9

Na equação 8 x — 6y = 9, isole o x

$x=\dfrac{9+6y}{8}$

Em seguida, aplique este valor de x na equação 2x + 4y — 3z = 9

$2\dfrac{9+6y}{8} + 4y - 3z = 9$

$\dfrac{9+6y}{4} + \dfrac{4y\cdot4}{4} - 3z = 9$

$\dfrac{9+6y}{4} + \dfrac{16y}{4} - 3z = 9$

$\dfrac{9+6y+16y}{4}- 3z = 9$

$\dfrac{9+22y}{4}- 3z = 9$

E agora isole a variavel z

$3z =-\dfrac{9+22y}{4}+ 9$

$z =-\dfrac{9+22y}{12}+ 3$

Use agora a equação –4 x + 7y + 8z = 9 para descobrir o valor de y ao substituir

$z =-\dfrac{9+22y}{12}+ 3$ e $x=\dfrac{9+6y}{8}$

$-4 \dfrac{9+6y}{8} + 7y + 8(-\dfrac{9+22y}{12}+ 3) = 9$

$-4\cdot8\cdot12 \dfrac{9+6y}{8} + 7\cdot8\cdot12y + 8\cdot8\cdot12(-\dfrac{9+22y}{12}+ 3) = 9\cdot8\cdot12$

$-4\cdot12 (9+6y) +7\cdot8\cdot12y - 8\cdot8(9+22y)+ 8\cdot3\cdot8\cdot12 = 9\cdot8\cdot12$

Prosseguindo com as contas numéricas encontramos y=5.

Em seguida, bastasubstituir nas eoquações e vamos encontrar x = 4 e z = 5.