Question

Banca UECE-CEV 
No sistema de numeração decimal, o número inteiro representado pelo produto 8ˆ7.25ˆ5 é formado por n algarismos. O número n é igual a  

A14 (gabarito)
B12
C13
D11

Alguém sabe alguma forma de responder esta questão sem ser efetuando o cálculo direto?

Answer 1

Nao tem.

Se não efetuar o cálculo não saberemos o produto disso e não saberemos a quantidade de algarismo presente no produto.

Observe:

Existem regras de potências: Uma delas que poderemos aplicar é esta:

(X^n)^m ⇒ X^(n*m)

Os números 8 e 25 podem ser reescrito em formas de potências:

8 = 2³ e 25 = 5²

(2³)^7 × (5²)^5 = 2^21 × 5^10

Outra regra que podemos utilizar para dar continuidade é:

X^n × X^m ⇒ X^(n×m)

Se eu tenho bases iguais e expoentes diferentes, eu mantenho a base e somo os expoentes, quando numa multiplicação!

Sendo assim, vamos utilizar de forma a obter uma outra potência de 10. Observe:

2^21 × 5^10 ⇔ Equação anterior

2^(11+10) × 5^10 ⇒ 2^11 × 2^10 × 5^10

Vamos deixar a equação acima ↑↑ no congelador. Vamos aprender outra regra:

X^n × Y^n ⇒ (X×Y)^n

Se eu tenho bases diferentes, mas expoentes iguais. Eu multiplico as minhas bases e mantenho o expoente:

2^11 × 2^10 × 5^10 ⇒ 2^11 × (2×5)^10 ⇒ 2^11 × 10^10

Daquela equação 8^7×25^5 conseguimos resumir a 2^11×10^10. Elaborar multiplicações de 2 é bem mais fácil que resolver a equação primitiva (8^7×25^5), não é mesmo?! Observe:

2^11 = 2048

Agora multiplique 2048 com 10^10. O valor 10^10 é como se fosse notação científica, o que quero dizer é que você adicionará a cada 10 um 0 em 2048. Como são 10 vezes o número 10, logo você adicionará 10 números 0. Observe:

2048×10^10 ⇒ 20480000000000

Contando quantos algarismo você tem, chegará a 14 algarismos!