Question

b) y= raiz quadrada de 1+x²; (2,3)


c) y=sen(senx) ;(pi,0)

Encontre todos os ponto do gráfico da função f(x)= 2senx +sen²x nos quais a reta tangente é horinzonta

Answer 1

A equação da reta tangente ao gráfico da função

$y=f\left(x \right )$

no ponto $\left(a,\,f\left(a \right ) \right )$ é


$y-f\left(a \right )=f'\left(a \right )\left(x-a \right )$


B) $y=\sqrt{1+x^{2}}$

$x=2,\;\;f\left(2 \right )=\sqrt{5}$


Encontrando a derivada da função:

$f'\left(x \right )=\left(\sqrt{1+x^{2}}\right)'\\ \\ f'\left(x \right )=\left[\left(1+x^{2} \right )^{1/2}\right]'\\ \\ f'\left(x \right )=\dfrac{1}{2}\left(1+x^{2} \right )^{1/2-1}\cdot\left(1+x^{2} \right )'\\ \\ f'\left(x \right )=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\left(1+x^{2} \right )^{-1/2}\cdot \diagup\!\!\!\! 2x\\ \\ f'\left(x \right )=\dfrac{x}{\left(1+x^{2} \right )^{1/2}}\\ \\ f'\left(x \right )=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$


Para $x=2$, temos que

$f'\left(2 \right )=\dfrac{2}{\sqrt{1+2^{2}}}\\ \\ f'\left(2 \right )=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$


A equação da reta tangente no ponto $(2,\,\sqrt{5} )$ é

$y-f\left(2 \right )=f'\left(2 \right )\left(x-2 \right )\\ \\ \boxed{y-\sqrt{5}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\left(x-2 \right )}$


C) $y=\mathrm{sen}\left(\mathrm{sen\,}{x} \right )$

$x=\pi,\;\;f\left(\pi \right )=0$


Encontrando a derivada da função:

$f'\left(x \right )=\left[\mathrm{sen}\left(\mathrm{sen\,}{x} \right ) \right ]'\\ \\ f'\left(x \right )=\cos\left(\mathrm{sen\,}{x} \right)\cdot \left(\mathrm{sen\,}x \right )'\\ \\ f'\left(x \right )=\cos\left(\mathrm{sen\,}{x} \right)\cdot \cos x$


Para $x=\pi$, temos que

$f'\left(\pi \right )=\cos \left(\mathrm{sen\,}\pi \right )\cdot \cos \pi\\ \\ f'\left(\pi \right )=\cos \left(0 \right )\cdot \left(-1 \right )\\ \\ f'\left(\pi \right )=1\cdot \left(-1 \right )\\ \\ f'\left(\pi \right )=-1$


A equação da reta tangente no ponto $\left(\pi,\,0 \right )$ é

$y-f\left(\pi \right )=f'\left(\pi \right )\left(x-\pi \right )\\ \\ y-0=-1\left(x-\pi \right )\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} y=-x+\pi \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Encontrar todos os pontos do gráfico de

$f\left(x \right )=2\mathrm{\,sen\,}x+\mathrm{sen^{2}\,}x$

nos quais a reta tangente é horizontal.


Nos pontos onde a reta tangente é horizontal, a inclinação da reta é igual a zero. Como a inclinação da reta tangente é igual à derivada da função naquele ponto, então, queremos encontrar todos os pontos onde

$f'\left(x \right )=0$


Derivando a função, temos

$f'\left(x \right )=\left(2\mathrm{\,sen\,}x+\mathrm{sen^{2}\,}x \right )'\\ \\ f'\left(x \right )=2\cos x+2\mathrm{\,sen\,}x\cdot \left(\mathrm{sen\,}x \right )'\\ \\ f'\left(x \right )=2\cos x+2\mathrm{\,sen\,}x\cdot \cos x\\ \\ \boxed{f'\left(x \right )=2\cos x\cdot\left(1+2\mathrm{\,sen\,}x \right )}$


Igualando a derivada a zero, resolvemos a equação obtida:

$f'\left(x \right )=0\\ \\ 2\cos x\cdot\left(1+2\mathrm{\,sen\,}x \right )=0\\ \\ \cos x\cdot \left(1+2\mathrm{\,sen\,}x \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} \cos x=0&\text{ ou }&1+2\mathrm{\,sen\,}x=0\\ \\ \cos x=0&\text{ ou }&\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{1}{2} \end{array}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} \left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\;\;\;\text{ou}\\ \\ x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \end{array} \right.&\text{ ou }\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\;\text{ou}\\ \\ x=\dfrac{7\pi}{6}+k\cdot 2\pi \end{array} \right. \end{array}$

onde $k$ é um número inteiro.