Question

b)$100^{x} - 1= 9.( 10^{x} +1$ a)$2^{x+2} - 3.2^{x - 1}= 20$Sistema equações exponenciais. resolva: 

Answer 1

$a)2 ^{x+2}-3*2 ^{x-1}=20$

Usando a propriedade da potenciação, vem:

$2 ^{x}*2 ^{2}-3*2 ^{x}*2 ^{-1}=20$

Usando uma variável auxiliar, fazendo $2 ^{x}=m$, temos:

$2 ^{2}*m-3*2 ^{-1}*m=20$

$4*m-3* \frac{1}{2} *m=20$

$4m- \frac{3}{2}m=20$

$(2*4m)-3m=2*20$

$8m-3m=40$

$5m=40$

$m=40/5$

$m=8$

Retomando a variável original, $2 ^{x}=m$:

$2 ^{x}=8$

$\not2 ^{x}=\not2 ^{3}$

$\boxed{\boxed{S=\{3\}}}$


$b)100 ^{x}-1=9*(10 ^{x}+1)$

$(10 ^{2}) ^{x}-1=9*(10 ^{x}+1)$

Realizando uma troca de posição dos expoentes, no 1° membro da equação, temos:

$(10 ^{x}) ^{2}-1=9*(10 ^{x}+1)$

Usando uma variável auxiliar, fazendo $10 ^{x}=y$, temos:

$(y) ^{2}-1=9*(y+1)$

$y ^{2}-1=9y+9$

$y^{2}-1-9y-9=0$

$y^{2}-9y-10=0$

Ao resolvermos esta equação do 2° grau, obtivemos as raízes

$y'=-1:::y''=10$, retornando à variável original, $10 ^{x}=y$, temos:

Quando y= -1, não existe um número que elevado à 10, dê -1, portanto não existe em IR:

Quando y=10:

$10 ^{x}=10::\not10 ^{x}=\not10 ^{1}::x=1$

Logo:

$S=\{1\}$


Espero ter ajudado e tenha bons estudos ;)