Matemática, perguntado por rafaelalvesferreira8, 4 meses atrás

(b)
r* + y
lim
(z,y)+(0,0) 4 + y2 + 1 - 1

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Baldério

Resolução da questão, veja bem:

O limite de duas variáveis apresentado na questão resulta em 2.

Para iniciarmos a resolução do limite dado, vamos substituir a tendência de (x,y) para verificarmos se temos alguma indeterminação matemática:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{\sf{(x,y)\;\to\;(0,0)}}\dfrac{\sf{x^4+y^3}}{\sqrt{\sf{x^4+y^3+1}-1}}}=\sf{\dfrac{0}{0}}$

Observando o resultado obtido acima, percebemos que estamos diante de uma indeterminação matemática do tipo 0 / 0. Para nos livrarmos desse problema, vamos racionalizar o denominador dessa função do limite, multiplicando toda a expressão pelo conjugado do denominador:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{\sf{(x,y)\;\to\;(0,0)}}\dfrac{\sf{x^4+y^3}}{\sqrt{\sf{x^4+y^3+1}}-\sf{1}}}~\to \sf{\blue{Racionalizando~o~denominador, teremos:}}\\ \\ \\ \sf{\left(\dfrac{x^4+y^3}{\sqrt{x^4+y^3+1}-1}\right)\cdot \left(\dfrac{\sqrt{x^4+y^3+1}+1}{\sqrt{x^4+y^3+1}+1}\right)}\\ \\ \\ \sf{\left(\dfrac{(x^4+y^3)\cdot(\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}{(\sqrt{x^4+y^3+1}-1)\cdot(\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}\right)}$

A partir desse momento, para prosseguirmos com a simplificação, deveremos usar a regra da diferença de quadrados, a qual nos diz que:

$\sf{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$

Aplicando a regra acima na nossa expressão, teremos:

$\sf{\left(\dfrac{(x^4+y^3)\cdot(\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}{(\sqrt{x^4+y^3+1}-1)\cdot(\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}\right)}=\sf{\left(\dfrac{(x^4+y^3)\cdot (\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}{(\sqrt{x^4+y^3+1})^2-1^2}\right)}\\ \\ \\ \sf{\left(\dfrac{(x^4+y^3)\cdot (\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}{(x^4+y^3+1)-1}\right)}=\sf{\left(\dfrac{(x^4+y^3)\cdot (\sqrt{x^4+y^3+1}+1)}{(x^4+y^3)}\right)}$

Observando a expressão acima, percebemos que temos o termo (x⁴ + y³) tanto no numerador quanto no denominador, ou seja, podemos elimina-los e ficamos com:

$\sf{\left(\dfrac{\left(x^4+y^3\right)\cdot \left(\sqrt{x^4+y^3+1}+1\right)}{\left(x^4+y^3\right)}\right)}=\sf{\left(\dfrac{(\diagup\!\!\!\!x^4+\diagup\!\!\!\!y^3)\cdot \left(\sqrt{x^4+y^3+1}+1\right)}{(\diagup\!\!\!\!x^4+\diagup\!\!\!\!y^3)}\right)}\\ \\ \\ \sf{\left(\sqrt{x^4+y^3+1}+1\right)~\to~Voltar~para~o~limite!!}$

Por fim, retornamos para o limite inicial:

$\sf{\displaystyle\lim_{\sf{(x,y)\;\to\;(0,0)}}\dfrac{\sf{x^4+y^3}}{\sqrt{\sf{x^4+y^3+1}}-\sf{1}}}=\sf{\displaystyle\lim_{\sf{(x,y)\;\to\;(0,0)}}(\sqrt{\sf{x^4+y^3+1}}+\sf{1})}\\ \\ \\ \sf{Substituir~na~tend\hat{e}ncia~para~(x,y):} \\ \\ \\ \sf{L=\sqrt{0^4+0^3+1}+1}\\ \\ \sf{L=\sqrt{1}+1}\\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{L=2}}}~\checkmark$