Question

b) log 8 (2x-2) = log 8 (x+4)

Answer 1

O exercício no dá uma igualdade de logaritmos de mesma base (8), assim, para que a igualdade seja mantida, os logaritmandos devem também ser iguais.

$\log_{\,_8}(2x-2)~=~\log_{\,_8}(x+4)~~\Rightarrow~~\boxed{2x-2~=~x+4}$

Resolvendo a equação obtida:

$2x-2~=~x+4\\\\\\2x-x~=~4+2\\\\\\\boxed{x~=~6}$

Este valor de "x" deve também atender às condições de existência (C.E) dos logaritmo (abaixo).

$Para~o~logaritmo~com~base~"b"~e~logaritmando~"a"~~\boxed{\log_{_b}a}\\\\\\C.E:~~~~~~\left\{\begin{array}{ccc}a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}\right.$

Nos logaritmos dados, a base (8) é positiva e diferente de 0, portanto atende às C.E's, vamos verificar se x=6 atende à condição para que o logaritmando seja positivo (a>0):

$Para~~x=6~~logaritmandos~ser\tilde{a}o~:\\\\\\2x-2~\Rightarrow~2\cdot6-2~=~12-2~=~\boxed{10}\\\\x+4~\Rightarrow~6+4~=~\boxed{10}$

Dessa forma, como o valor encontrado para x atende também às C.E's, podemos afirmar que x=6 é solução da equação logarítmica.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$