Question

b)
Indique
o conjunto verdade em U = IR destas equações, determinando inicialmente o discriminante:
1) x2 - 15x + 50 = 0
2)X2-20X+100=0
3)8x2-6X+1=0
4)x2+x+2=0
5)4x2-3x=0
6)5x2+3x+1=0
7)x2+16x+64=0
8)6x2-7x-3=0
9)15x2-14x-8=0
10)10x2+8x+2=0

ME AJUDEM RAPIDO SE FOR POSSÍVEL PRA HOJE MESMO E SE NAO PEDIR MUITO PODERIAM TAMBEM ME DA O CALCULO​

Answer 1

Olá.

Para resolvermos uma equação do 2º grau é necessário que encontremos as raízes da equação, também chamadas de zeros da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas tornam a sentença verdadeira, ou seja, igual a zero, já que a equação está igualada a zero.

Assim, as raízes da equação formam o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação.

O grau de uma equação indica quantas raízes essa equação tem. Toda equação do segundo grau tem portanto sempre 2 raízes. (Uma equação do 1º grau terá 1 raiz, uma equação do 3º grau terá 3 raízes, uma do 4º grau terá 4 raízes...)

O discriminante de uma equação é o valor que vai indicar quantas raízes reais a equação terá. Porque na verdade, algumas raízes podem não fazer parte do Conjunto dos Números Reais.

Numa equação do segundo grau isso acontece quando ocorre uma raiz de número negativo. Não existe solução para isso no Conjunto dos Números Reais (R). Essa solução poderá ser encontrada em estudos mais adiantados, no chamado de Conjunto dos Números Complexos (C), mas não será um número real, e sim número "imaginário".

Portanto, se o discriminante (chamamos de delta, seu sinal é Δ) for igual a zero, maior que zero ou menor que zero, teremos:

Δ > 0  : 2 raízes reais e distintas (diferentes entre si)

Δ = 0  : duas raízes reais e iguais (ou uma raiz dupla)

Δ < 0 : não há raízes reais

Ok? Entendido?

===> E para achar esse discriminante usamos uma parte da fórmula que chamamos Teorema de Baskara:

Δ = b² - 4ac

Quem são a, b e c? São os números que acompanham a equação. Os números são chamados de "coeficientes".

Numa equação na forma geral: y = ax² +bx +c , vemos os coeficientes a, b e c.

a vem acompanhado de x² (ele precisa existir para a equação ter grau 2).

b vem acompanhado de x (pode existir ou ser igual a zero).

c não vem acompanhado de x,  é o termo independente de x (pode existir ou ser igual a zero).

===> Para achar as raízes usamos a outra parte da fórmula ou Teorema de Baskara:

$x = \frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$

Tendo entendido podemos então resolver esses exercícios. Vou resolver alguns deles para você entender bem o processo de resolução. O resto você deve treinar para aprender.

===================

1)  x² - 15x + 50 = 0

a = 1

b = -15

c = 50

Δ = b² - 4ac = (-15)² -4(1)(50) = 225 -200 = 25

$x = \frac{-(-15)\pm\sqrt{25}}{2*1}=\frac{15\pm5}{2}$

$x' = \frac{15+5}{2} =\frac{20}{2} =10$

$x" = \frac{15-5}{2} =\frac{10}{2} =5$

Delta maior que zero, duas raízes reais e distintas.

Conjunto verdade, ou conjunto solução da equação, pertencente ao universo dos números reais (U = IR):

S = {5, 10}

Como podemos comprovar que nossos cálculos estão corretos? Substituindo as raízes na equação. Raízes são os números que tornam a equação igual a zero. Então, se ao substituirmos a equação se anular, os números encontrados são realmente raízes dessa equação. (Confirmar os calculos é uma excelente forma de não errar nos exercícios e provas da escola).

f(x) = x² - 15x + 50

f(5) = 5² -15(5) +50 = 25 -75 +50 = 75 -75 = 0

f(10) = 10² -15(10) +50 = 100 -150 +50 = 150 -150 = 0

Portanto, 5 e 10 são realmente raízes da equação.

=======================

2) x² -20x +100 = 0

a = 1

b = -20

c = 100

Δ = b² - 4ac = (-20)² -4(1)(100) = 400 -400 = 0

$x = \frac{-(-20)\pm\sqrt{0}}{2*1}=\frac{20\pm0}{2}=\frac{20}{2} =10$

Ou seja, x' = x" = 10

Delta igual a zero, duas raízes iguais a 10 (10 é uma raiz dupla)

S = {10}

====================

3) 8x² -6x +1 = 0

a = 8

b = -6

c = 1

Δ = b² - 4ac = (-6)² -4(8)(1) = 36 -32 = 4

$x = \frac{-(-6)\pm\sqrt{4}}{2*8}=\frac{6\pm2}{16}$

$x' = \frac{6+2}{16} =\frac{8}{16} =\frac{1}{2}$

$x' = \frac{6-2}{16} =\frac{4}{16} =\frac{1}{4}$

Delta maior que zero, duas raízes reais e distintas.

$S=\{\frac{1}{2},\frac{1}{4}\}$

=======================

4) x² +x +2 = 0  

a = 1

b = 1

c = 2

Δ = b² - 4ac = (1)² -4(1)(2) =1 -8 = -7

$x = \frac{-(1)\pm\sqrt{-7}}{2*1}=\frac{-1\pm\sqrt{-7}}{2}$

Não existe raiz de número negativo em R (Conjunto dos Números Reais).

Portanto não podemos calcular raízes reais.

Delta menor que zero, não existem raízes reais.

Conjunto solução em R não tem elementos, é vazio.

S = { }

ou

S = ∅

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5) 4x² -3x = 0

a = 4

b = -3

c = 0 (a equação não tem o termo independente, então ele é igual a zero)

Δ = b² - 4ac = (-3)² -4(4)(0) = 9 -0 = 9

$x = \frac{-(-3)\pm\sqrt{9}}{2*4}=\frac{3\pm3}{8}$

$x' = \frac{3+3}{8} =\frac{6}{8} =\frac{3}{4}$

$x" = \frac{3-3}{8} =\frac{0}{8} =0$

Delta maior que zero, duas raízes reais e distintas.

$S=\{0,\frac{3}{4}\}$

Vou deixar os gráficos dessas funções em imagem aí embaixo para você entender melhor o que acontece com as raízes quando sabemos quem é o delta.

As demais equações ficam de treino para você.

Bons estudos.