Question

Avalie o limite abaixo:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)^3}{(x-2)\cdot e^x+x+2}=6}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para avaliarmos o seguinte limite, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)^3}{(x-2)\cdot e^x+x+2}$

Veja que ao testarmos o valor $x=0$ neste limite, encontraríamos uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$.

Dada o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são diferenciáveis e portanto, contínuas em $c$ e $g'(c)\neq 0$, ao aplicarmos a regra:

$\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$

Dessa forma, aplicando a regra, teremos:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{[(e^x-1)^3]'}{[(x-2)\cdot e^x+x+2]'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia: $(f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada do produto é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$.
• A derivada da função exponencial é a própria função: $(e^x)'=e^x$.
• A derivada da potência é calculada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplicando a regra da cadeia e a regra da soma, teremos:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{3\cdot(e^x-1)^2\cdot (e^x-1)'}{((x-2)\cdot e^x)'+x'+2'}$

Sabendo que $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)$, temos

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)^2\cdot (e^x-1)'}{((x-2)\cdot e^x)'+x'+2'}$

Aplicando as regras da soma, do produto, da potência e da constante, temos

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)^2\cdot( (e^x)'-1')}{((x-2)'\cdot e^x+(e^x)'\cdot(x-2)+x'+2'}\\\\\\ 3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)^2\cdot e^x}{e^x+e^x\cdot(x-2)+1}$

Somando os termos semelhantes por agrupamento, temos

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)^2\cdot e^x}{e^x\cdot(x-1)+1}$

Veja que neste caso, ainda teremos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$, logo apliquemos a regra novamente:

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{[(e^x-1)^2\cdot e^x]'}{[e^x\cdot(x-1)+1]'}$

Aplique as regras do produto e da soma

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{[(e^x-1)^2]'\cdot e^x+(e^x-1)^2\cdot (e^x)'}{[e^x\cdot(x-1)]'+1'}\\\\\\ 3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{[(e^x-1)^2]'\cdot e^x+(e^x-1)^2\cdot (e^x)'}{(e^x)'\cdot(x-1)+e^x\cdot(x-1)'+1'}$

Aplique a regra da cadeia, da soma, da potência e da constante

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{2\cdot(e^x-1)\cdot(e^x-1)'\cdot e^x+(e^x-1)^2\cdot e^x}{e^x\cdot(x-1)+e^x\cdot1}$

Aplique a regra da soma novamente, multiplique e some os valores

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{e^x\cdot(e^x-1)(3e^x-1)}{xe^x}$

Cancelando os termos opostos, temos

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)(3e^x-1)}{x}$

Neste caso, temos ainda uma indeterminação, logo apliquemos a regra  de l'Hôpital mais uma vez:

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{[(e^x-1)(3e^x-1)]'}{x'}$

Aplique a regra do produto e a regra da potência

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(e^x-1)'\cdot (3e^x-1)+(e^x-1)\cdot(3e^x-1)'}{1}$

Simplifique a fração e aplique a regra da soma

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~e^x\cdot (3e^x-1)+(e^x-1)\cdot3e^x}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~3e^{2x}-e^x+3e^{2x}-3e^x}$

Some os termos semelhantes

$3\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~6e^{2x}-4e^x$

Neste caso, teremos a regra $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$, visto que a função é contínua

$3\cdot(6e^{2\cdot0}-4e^0)$

Sabendo que $e^0=1$, finalmente temos

$3\cdot(6-4)\\\\\\ 3\cdot 2\\\\\\ 6$

Este é o valor deste limite quando $x\rightarrow0$ .