Matemática, perguntado por taylinda91, 6 meses atrás

Avalie a razão integral
\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}} \mathrm{d}x}{\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}} \mathrm{d}x}
Usando Wolframalpha, descobri que a razão das duas integrais acima é √2+1, isto é, independente de n. Não consegui pensar em uma maneira de resolver isso.

Eu não acho que nenhuma substituição simples funcionaria aqui.Quaisquer dicas úteis serão apreciadas.​

Soluções para a tarefa

Respondido por Brainly2615
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Resposta:

OBSERVAÇÃO \\ \begin{align} \frac{I_1}{I_2}&amp;=1+ \frac{I_1-I_2}{I_2} \\ &amp;=1+\frac1{I_2}\int_0^{\frac\pi2} \left( \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}}- \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}} \right)dx \\ &amp;=1+\frac1{I_2}\int_0^{\frac\pi2} \frac{\sqrt{\sqrt{\sin^nx+\cos^nx}+\sqrt{\cos^nx}} - \sqrt{\sqrt{\sin^nx+\cos^nx}-\sqrt{\cos^nx}}}{\sqrt[4]{\sin^nx+\cos^nx}}dx \\ &amp;=1+\frac1{I_2} \int_0^{\frac\pi2} \frac{\sqrt{2\sqrt{\sin^nx+\cos^nx}-2\sqrt{\sin^nx}} }{\sqrt[4]{\sin^nx+\cos^nx}}dx \\ &amp;= 1+\frac{\sqrt2}{I_2} \int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\cot^nx}}}dx\&gt;\&gt;\&gt;\&gt;\&gt;\&gt;\&gt;\&gt;(x\to \frac\pi2-x)\\ &amp;=1+\frac{\sqrt2}{I_2}\int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}}dx \\ &amp;=1+\sqrt2 \\ \end{align}</p><p>

ESPERO  \:  \: TER   \: \: AJUDADO!


judsont94: não entendi esse notação
taylinda91: Obrigada!
Brainly2615: De nada
BrainlySchool: Boa !
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