Question

Avaliando a integral indefinida ∫xsen xdx encontramos como resultado a família de funções:

(dica: use integração por partes e faça u=x e dv= sen xdx)

Escolha uma opção:
a. x tg x+ln|cosx|+C
b. x sen x+cosx+C
c. sen x−xcosx+C
d. xsecx−ln|secx+ tg x|+C

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos resolver a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx}$

Para isso, utilizaremos a técnica de integração por partes: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$.

Para escolhemos as funções que serão a variável $u$ e o diferencial $dv$, utilizamos o critério LIATE: dá-se prioridade, na escolha de $u$, às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponencias, nesta ordem.

Com base nesta propriedade, escolhemos $u=x$ e $dv=\sin(x)\,dx$.

Diferenciamos a expressão em $u$, de modo a encontrarmos o diferencial $du$ e integramos a expressão em $dv$, de modo a encontrarmos a variável $v$.

$(u)'=(x)'\\\\\\\dfrac{du}{dx}=1\\\\\\ \Rightarrow du=dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin(x)\,dx}\\\\\\ \Rightarrow v=-\cos(x)$

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx=x\cdot (-\cos(x))-\int (-\cos(x))\,dx}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$ e multiplique os termos

$\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx=-x\cos(x)+\int\cos(x)\,dx}$

Calcule a integral da função cosseno, sabendo que $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$

$\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx=-x\cos(x)+\sin(x)+C,~C\in\mathbb{R}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral e é a resposta contida na letra c).