Question

Automóveis esportivos podem, por exemplo,
partindo do repouso, atingir a velocidade de
100, km/h em menos de 3,0 s. A massa do automó-
vel e seus ocupantes pode ser de 1900 kg.
(a) Qual é a potência média desenvolvida pela força
resultante sobre o carro durante os 3,0 s?
(b) Se a aceleração foi constante (essa aproximação
não é muito boa), qual é a potência instantânea
exatamente aos 3,0 s?

Answer 1

Olá!

a)
Pela fórmula da potência média podemos calcular o que se pede.
$P_m=\dfrac{E}{\Delta{t}}\\P_m=\dfrac{\tau}{\Delta{t}}$

Pelo teorema da energia cinética, o somatório dos trabalhos de todas as forças atuantes no corpo ao longo do deslocamento é igual à variação da energia cinética do corpo.
$\sum\tau=\Delta{E_c}$

Portanto, ao longo do deslocamento, o trabalho da força atuante sobre o carro é igual a sua variação de energia cinética. Como o automóvel parte do repouso, o trabalho exercido é igual à energia cinética final.
$\tau=\dfrac{mv_o^2}{2}-\dfrac{mv^2}{2}\\\tau=\dfrac{m0^2}{2}-\dfrac{mv^2}{2}\\\tau=\dfrac{mv^2}{2}$

Substituindo na equação da potência média:
$P_m=\tau.\dfrac{1}{\Delta{t}}\\P_m=\dfrac{mv^2}{2}.\dfrac{1}{\Delta{t}}\\P_m=\dfrac{mv^2}{2\Delta{t}}\\P_m=\dfrac{1900.\left(\dfrac{100}{3{,}6}\right)^2}{2.3}\\\boxed{P_m\approx244340\,\text{W}}$

b)
A potência instantânea não pode ser calculada da mesma forma que a potência média, já que a primeira é o valor em um dado instante, e a segunda depende da variação de tempo. No entanto, a potência instantânea do carro pode ser obtida pela relação:
$P=\displaystyle\lim_{\Delta{t}\to0}{P_m}\\P=\displaystyle\lim_{\Delta{t}\to0}\dfrac{\tau}{\Delta{t}}\\P=\displaystyle\lim_{\Delta{t}\to0}\dfrac{F.d}{\Delta{t}}\\P=F.\displaystyle\lim_{\Delta{t}\to0}\dfrac{d}{\Delta{t}}\\P=F.v\\P=m.a.v$
Onde 'v' é a velocidade instantânea.

Considerando constante a aceleração do carro até o instante 3 s, sua aceleração pode ser expressa por:
$a=\dfrac{v}{\Delta{t}}$

Substituindo na equação da potência instantânea:
$P=m.\dfrac{v}{\Delta{t}}.v\\P=\dfrac{mv^2}{\Delta{t}}$

Desta forma, percebemos que a potência no instante 3 s é o dobro da potência média durante os 3 s calculada no item anterior.
$P=\dfrac{mv^2}{\Delta{t}}\\P=\dfrac{2}{2}.\dfrac{mv^2}{\Delta{t}}\\P=2.\left(\dfrac{mv^2}{2\Delta{t}}\right)\\P=2P_m\\P\approx2.244340\\\boxed{P\approx488680\,\text{W}}$

Bons estudos!