Question

Augusto produz salgadinhos para festas e a demanda por seus produtos aumentou muito nos últimos meses. Para conseguir atender todos os pedidos, acha que seria uma boa ideia comprar uma máquina modeladora de salgados que custa R$15800,00. Ele tentou um empréstimo no banco, mas não obteve sucesso. Carlos, amigo de Augusto, acredita no potencial de sua empresa e decidiu conceder o empréstimo, mas, como possui uma situação financeira confortável, não quis cobrar juros. Augusto concordou, mas pediu que começasse pagando R$200,00 e aumentaria R$10,00 a cada mês. Considerando esse acordo, em quanto tempo Augusto pagaria Carlos e qual seria o valor da última parcela? Escolha uma:

Answer 1

aqui é a soma dos termos de uma PA de razão 10 cujo primeiro termo começa em 200

Você quer saber qual a quantidade de termos que somados dá 15800

A fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula 

$S_{n} = \frac { n* (a_{1}+ a_{n})} {2}$

o termo n é dado por
$a_{n} = a_{1} + (n-1)*r$

Não sabemos qual é o n ... por isso queremos calculá-lo.

Então temos

$S_{n} = \frac { n* (a_{1}+ ( a_{1} + (n-1)*r) )} {2}$

Agora podemos substituir

$15800 = \frac { n* (200 +  200 + (n-1)*10 )} {2}$

$15800 = \frac { n* (400 + 10n-10 )} {2}$

31600 = 390n + 10n² 

Aplicando Baskhara temos duas raízes, uma é -79 e a outra é 40

Obviamente, o número de parcelas não pode ser negativo, portanto, só pode ser 40

Então depois de 40 parcelas, a dívida será paga. Será ? 

vamos conferir

o termo 40 é dado por 
$a_{40} = 200 + (40-1)*10$

$a_{40} = 200 + (39)*10$

$a_{40} = 200 + 390$

$a_{40} = 590$

aplicando a fórmula de soma dos 40 termos de uma PA com início em 200 e razão 10 temos 

$S_{n} = \frac { n* (a_{1}+ a_{n})} {2}$

$S_{40} = \frac {40*(200+a_{40})}{2}$

$S_{40} = \frac {40*(200+590)}{2}$

$S_{40} = \frac {40*790}{2}$

$S_{40} = \frac{<span>31600</span>}{2}$

$S_{40} = 15800$

tá certo