Question

@URGENTEPORPFV

Ao fazer um projeto, um engenheiro precisa verificar se um dos triângulos formados pelos vértices A= (1,1,2), B= (2,0,0) e C= (3,4,1) é um triangulo retângulo

Deve também, calcular o volume (u.v.) de uma caixa d’agua que ficara embaixo do telhado.

Ela é um paralelepípedo formado pelos vetores u=(5,6,0), v=(3,1,2) e w=(4,2,4).

1) Se você fosse o engenheiro acima, como você utilizaria o produto escalar entre vetores para verificar se o triangulo descrito é um triangulo retângulo?

2) Como você usaria o produto misto para calcular o volume (u.v.) da caixa d’água apresentada?

Answer 1

O triângulo ABC não é retângulo. O volume da caixa d'água é 24 u.v.

1)  Se o triângulo ABC é retângulo, então o produto interno entre dois vetores é igual a zero.

Vamos definir os vetores AB, AC e BC:

AB = (2,0,0) - (1,1,2)

AB = (1,-1,-2)

AC = (3,4,1) - (1,1,2)

AC = (2,3,-1)

BC = (3,4,1) - (2,0,0)

BC = (1,4,1).

Agora, vamos calcular os seguintes produtos internos:

<AB,AC> = 1.2 + (-1).3 + (-2).(-1) = 1

<AB,BC> = 1.1 + (-1).4 + (-2).1 = -5

<AC,BC> = 2.1 + 3.4 + (-1).1 = 13.

Observe que nenhum resultado é igual a zero. Portanto, o triângulo ABC não é retângulo.

2) Para calcular o volume da caixa d'água, vamos calcular o seguinte determinante:

$[u,v,w]=\left[\begin{array}{ccc}5&6&0\\3&1&2\\4&2&4\end{array}\right]$

[u, v, w] = 5.(1.4 - 2.2) - 6.(3.4 - 4.2) + 0.(3.2 - 4.1)

[u, v, w] = 5(4 - 4) - 6(12 - 8)

[u, v, w] = -24.

Portanto, o volume da caixa d'água é |-24| = 24 u.v.

Answer 2

Resposta:

1) Se você fosse o engenheiro acima, como você utilizaria o produto escalar entre vetores para verificar se o triangulo descrito é um triangulo retângulo?

C                                                A = ( 1 , 1 , 2 )

                                                  B = ( 2 , 0 , 0 )

                                                  C = ( 3 , 4 , 1 )

A                            B

 

AB . AC = 0

AB  = B – A                     ( 2 – 1 , 0 - 1 , 0 –  2 ) = ( 1 , -1 , -2 )

AC  = C – A                     ( 3 – 1 , 4 – 1 , 1 – 2 ) = ( 2 , 3 , -1   )

AB . AC = 1 . 2 + (-1) . 3 + (-2) . (-1) = 2 + (-3) + 2 = 2 – 3 + 2 = 1

RESPOSTA:

Assim, esse triângulo não é um triângulo retângulo

2) Como você usaria o produto misto para calcular o volume (u.v.) da caixa d’água apresentada?

 u         5     6     0       5     6   20 + 48 + 0 – ( 0 + 10 + 72 )

 v         3     1     2       3     1                                                68 – 82   = - 14  

 w        4     1     4       4     1                                             volume = 14

Explicação passo-a-passo: