Question

Atualmente, no Brasil, inúmeras universidades oferecem cursos voltados para idosos por meio de programas com atividades intelectuais, físicas, culturais e artísticas, o que contribui para um envelhecimento ativo e uma velhice bem sucedida.





Um grupo de idosos formado por 3 homens e X mulheres, alunos de um curso de teatro, reuniu-se em uma sala para uma leitura conjunta de um texto a ser encenado. Sabe-se que, antes do início da leitura, as mulheres cumprimentaram os homens e se cumprimentaram entre si, mas os homens cumprimentaram, apenas, as mulheres; esse comportamento resultou em um total de cumprimentos de número par e que não excedeu a 42.



Com base nessa informação, pode-se afirmar que a quantidade de possíveis valores distintos para X é:


4, 2, 3, 5, 0u 6?

Answer 1

Para resolver esta questão, utilizaremos a Combinação:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Se não houvesse a restrição dada no enunciado, o total de apertos de mão seria:

$C(x+3,2) = \frac{(x+3)!}{2!(x + 1)!} = \frac{(x+3)(x+2)}{2}$

Porém, temos a restrição de que os homens cumprimentaram apenas as mulheres e que o total de cumprimentos não excedeu 42.

Ou seja,

$\frac{x^2 + 5x + 6}{2} - C(3,2) \leq 42$

x² + 5x + 6 ≤ 90

x² + 5x - 84 ≤ 0

Pela fórmula de Bháskara:

Δ = 5² - 4.1.(-84)

Δ = 25 + 336

Δ = 361

$x = \frac{-5+-\sqrt{361}}{2}$

$x = \frac{-5+-19}{2}$

$x' = \frac{-5+19}{2} = 7$

$x'' = \frac{-5-19}{2} = -12$

Ou seja, -12 ≤ x ≤ 7.

Como x tem que ser par e positivo, então x = 2, 4 ou 6.

Portanto, a quantidade de possíveis valores distintos para X é 3.