Question

Atualmente as placas de carro é composta de três letras (de A a Z incluindo as letras K, W e Y) e quatro algarismos (de O a 9). Quantas placas podem ser confeccionadas de tal maneira que os algarismos formem um número múltiplo de 8?

Answer 1

para as letras temos ... 


26 x 26 x 26 = 26³ 

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vamos ver quantos múltiplos de 8 temos ...

a1 = 8
an = 9992 ( maior múltiplo de 8 com 4 algarismos)
r = 8 

an = a1 + (n - 1) .r
9992 = 8 + (n - 1) .r
9992 = 8 + 8n - 8 
9992 = 8n 
n = 9992 / 8 
n = 1249   números divisíveis por 8  

então podemos confeccionar 26³.1249   placas              ok

Answer 2

LETRAS
Sabemos que numa placa há 3 letras.
Então temos que calcular quantos arranjos podem ser formados com essas 3 letras, de um total de 26 letras que formam nosso alfabeto.

Como as letras podem se repetir, temos um arranjo com repetição.
Temos que:
n = 26 letras 
r = 3 letras

Assim, usamos a fórmula:
$Ar_{n,r} = n^{r} \\ Ar_{26} = 26^{3} \\ Ar = 17576$

Temos 17576 arranjos possíveis.

NÚMEROS
Sabemos que uma placa é formada por números de 4 algarismos.
Assim, temos que calcular quantos números, múltiplos de 8, podem ser formados.

Façamos por progressão aritmética.

Temos que achar o maior múltiplo de 8 com 4 algarismos.
O maior número com 4 algarismos é 9999. Assim, dividimos esse número por 8. E depois multiplicamos a parte inteira por 8. Veja:
9999 ÷ 8 = 1249,875
1259 × 8 = 9992 [maior múltiplo de 8 com 4 algarismos]

Agora, anotemos os dados da progressão aritmética.
último múltiplo de 8: 9992
primeiro múltiplo de 8: 8
diferença entre os múltiplos: 8
Logo:
$a_{n} = 9992 \\ a_{1} = 8 \\ r = 8 \\ \\ a_{n} = a_{1} + (n - 1).r \\ 9992 = 8 + (n - 1).8 \\ 9992 = 8 + 8n - 8 \\ 8n = 9992 \\ n = 1249$

Por fim, basta multiplicarmos os arranjos de letras pelo o de números.
17576 × 1249 = 21952424 

Portanto, podem ser formadas 21952424 placas.