Question

Através dos Lemas de Kaplansky ,

a) quantos anagramas com a palavra ALUNO podemos formar apresentando as consoantes em ordem alfabética , não necessariamente juntas ?

b) quantos anagramas com a palavra ALUNO podemos formar apresentando as vogais em ordem alfabética , não necessariamente juntas ?

Favor deixar bem explicado a sua resolução , porque eu realmente quero aprender os lemas .

Answer 1

A resolução deste exercício pelos lemas de Kaplansky ..é a forma mais complicada de os resolver, porque:

--> Os lemas de Kaplansky são mais direcionados para problemas de "não consecutividade" entre os conjuntos ..e neste caso temos também as possibilidades de as vogais e as consoantes poderem estar ..juntas (consecutivas)!!

--> O 2º lema de Kaplansky é também mais direcionado para situações em que esteja implícita uma "permutação circular" ...pelo que julgo que podemos excluir o 2º lema desta resolução!!

Assim, vamos apenas utilizar o 1º lema para a resolução destas questões ..e descrevê-lo passo a passo!


Questão - a) quantos anagramas com a palavra ALUNO podemos formar apresentando as consoantes em ordem alfabética , não necessariamente juntas?

...temos 5 letras ..para selecionar apenas 2 (L, N)

vamos começar o "desenvolvimento clássico" designando por:
 
=> " - " os elementos não significativos (A,U,O)
=> " О " os elementos significativos (L,N) 

О - О - О - О <- temos 4 possibilidades para colocar os elementos (L,N)

segundo o 1º lema teríamos:

C[(n - p + 1), p]

..note que n = 5 ..p = 2 (L,N) ...e (n - p) = 3 (A,O,U) ..substituindo na fórmula

C[(5 - 2 + 1), 2]

ou

C(4,2) = 4!/2!2! = 12/2! = 6

..mas os elementos definidos por "(n - p)" podem permutar entre si ..donde resulta

C[(n - p + 1), p] . P(3) ..ou ainda C(4,2) . 3! = 6 . 6 = 36

pronto já estão determinados todos os elementos NÃO REPETIDOS ..isto é ..todos os anagramas em que as consoantes NÃO ESTÃO juntas (embora estejam em ordem alfabética).

Falta-nos calcular as repetições ..ou seja os anagramas em "L+N" estejam juntos ..ou por outras palavras sejam apenas ..uma letra. 

О - О - О - О <- temos 4 possibilidades para colocar os elementos (L,N) ..como uma única letra 

C[(n - p + 1), p]

..note que n = 4 ..p = 1 (L+N) ...e (n - p) = 3 (A,O,U) ..substituindo na fórmula

C[(4 - 1 + 1), 1]

ou

C(4,1) = 4!/1!3! = 4

..como as letras (A,O,U) ou (n - p) podem permutar entre si termos

C[(4 - 1 + 1), 1] . 3!

C = 4 . 6 = 24 <--anagramas com as consoantes consecutivas

Finalmente podemos agregar a formula global desta resolução ..no conceito do 1º lema de Kaplansky:

f = {C[(5 - 2 + 1), 2] . 3!} + {C[(4 - 1 + 1), 1] .. 3!}

f = 36 + 24

f = 60 <-- número de anagramas com as consoantes na mesma ordem


Questão - b) quantos anagramas com a palavra ALUNO podemos formar apresentando as vogais em ordem alfabética , não necessariamente juntas?

vamos seguir o mesmo raciocínio ...não duplicando alguns passos para simplificar a resolução:

=> " - " os elementos não significativos (L,N))
=> " О " os elementos significativos (A,O,U) 

О - О - О <- temos 3 possibilidades para colocar os elementos (A,O,U)

C[(n - p + 1), p]

..note que n = 5 ..p = 3 (A,O,U) ...e (n - p) = 2 (L,N) ..substituindo na fórmula

C[(5 - 3 + 1), 3]

ou

C(3,3) = 3!/3! = 1

....como as letras (L,N) ou (n - p) podem permutar entre si termos

C[(5 - 3 + 1), 3] . P(2)

ou 

C[(5 - 3 + 1), 3] . 2! = 1 . 2! = 2 <-- 2 anagramas em que as vogais estão separadas 

vamos agora calcular os anagramas em que elas estão juntas .....mas note que elas podem estar juntas de várias formas:

A,O + U ..como 2 letras

A + O,U ..como 2 letras

A+O+U ..como 1 letra única 

..e em qualquer destes casos ..as consoantes poderiam permutar entre si

assim teríamos para:

A,O + U ..como 2 letras

C[(4 - 2 + 1), 2] . P(2) = C(3,2) . 2! = 3 . 2 = 6 anagramas

 A + O,U ..como 2 letras

C[(4 - 2 + 1), 2] . P(2) = C(3,2) . 2! = 3 . 2 = 6 anagramas

A+O+U ..como 1 letra única 

C[(3 - 1 + 1), 1] . P(2) = C(3,2) . 2! = 3 . 2 = 6 anagramas

Finalmente e agregando tudo numa única fórmula teríamos:

f = {C[(5 - 3 + 1), 3] . 2!} + {C[(4 - 2 + 1), 2] . 2!} + {C[(4 - 2 + 1), 2] . 2!} + {C[(3 - 1 + 1), 1] . 2!}

f = 2 + 6 + 6 + 6

f = 20 anagramas com as vogais na mesma ordem..



Espero ter ajudado!!