Question

Através de uma configuração geométrica formada pontos e pentágonos, criamos uma nova figura a partir da anterior. A quantidade de pontos formada pelos cinco primeiros pentágonos são 1, 5, 12, 22 e 35. Quatro deles estão representados em anexo abaixo.


Considere aₙ a quantidade de pontos do n-ésimo pentágono


A - Escreva uma lei recursiva para aₙ em função de aₙ₋₁



B - Ache a fórmula fechada de aₙ


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá Superaks!

Podemos observar nessa sequência {1,5,12,22,35}, que representa o número de pontos de cada pentágono, que a diferença entre o maior com o número imediatamente anterior forma uma progressão aritmética de razão 3, observe a segunda parcela a seguir:

1+4=5
5+7=12
12+10=22
22+13=35

PA={4,7,10,13}

Essa PA, em função de n, será igual a:

Pn=3n+1

Assim a lei recursiva será

 $a_{n+1}=a_n+3n+1$

Para descobrirmos a fórmula geral, substituiremos os valores:

$a_1=1\\a_2=1+(3*1)+1\\a_3=1+(3*1)+1+(3*2)+1=1+3*(1+2)+2*1\\a_4=1+3*(1+2)+2*1+3*3+1=1+3*(1+2+3)+3*1\\...\\a_n=1+3*(1+2+3\ ...\ (n-1))+(n-1)*1\\\\a_n=1+3*\sum_{k=1}^{n-1}k+n-1\\a_n=n+\frac{3*(1+n-1)*(n-1)}{2}\\a_n=n+\frac{3*(n^2-n)}{2}\\a_n=\frac{2n+3n^2-3n}{2}\\\\\boxed{a_n=\frac{3n^2-n}{2}}$

Agora podemos usar essa fórmula geral para descobrirmos a real lei recursiva $a_n$ em função de $a_{n-1}$

Isolando n, temos:

$a_n=\frac{3n^2-n}{2}\\2a_n=3n^2-n\\3n^2-n-2a_n=0\\\\n=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4*3*(-2a_n)}}{2*3}\\n=\frac{1+\sqrt{1+24a_n}}{6}\ \ \ \ \ (n\in \mathbb{N})$

Assim, a lei recursiva será:

$a_{n+1}=a_n+3n+1\\a_{n+1}=a_n+3*\frac{1+\sqrt{1+24a_n}}{6}+1\\a_{n+1}=a_n+\frac{1+\sqrt{1+24a_n}}{2}+1\\a_{n+1}=\frac{2a_n+1+\sqrt{1+24a_n}+2}{2}\\a_{n+1}=\frac{2a_n+\sqrt{1+24a_n}+3}{2}\\\\\boxed{a_n=\frac{2a_{n-1}+\sqrt{24a_{n-1}+1}+3}{2}}$

Dúvidas? Comente!