ATIVIDADES
1- No lançamento de um dado comum o resultado é o número que estiver na face
voltada para cima.
a) Se você lançar um dado comum, qual a probabilidade de obter um numero par?
b) Lançando o dado, qual a probabilidade do resultado ser um número menor que 3?
Soluções para a tarefa
Resposta:
exemplos de experimentos aleatórios:
a) Cara ou coroa
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.
b) Lançamento de um dado
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.
c) Retirar uma carta aleatória de um baralho
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.
Espaço amostral
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.
O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).
Evento
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.
São exemplos de eventos:
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:
E = {cara}
O seu número de elementos é n(E) = 1.
b) Sair um número par no lançamento de um dado.
O evento é sair um número par:
E = {2, 4, 6}
O seu número de elementos é n(E) = 3.
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.
Cálculo da probabilidade
Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.
P(E) = n(E)
n(Ω)
Observações:
O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;
Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;
A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:
P(A-1) = 1 – P(A)
Exemplos:
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?
Solução:
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.
P(E) = n(E)
n(Ω)
P(E) = 1
2
P(E) = 0,5 = 50%
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?
Solução:
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:
(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:
(C, C); (K, K)
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:
P(E) = n(E)
n(Ω)
P(E) = 2
4
P(E) = 0,5 = 50%
→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?
Solução:
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
P(E) = n(E)
n(Ω)
P(E) = 2
6
P(E) = 0,33... = 33,3%
A probabilidade obtermos um número par no lançamento de um dado simples é de 0,5, ou 50%. A probabilidade de obtermos um número menor que 3 no lançamento de um dado simples é de 0,3333, ou 33,33%.
Para respondermos ambas as questões, devemos analisar o problema. A probabilidade de um evento ocorrer é determinada pelo número de casos favoráveis ao que desejamos dividido pelo número total de casos existentes (o resultado obtido varia entre 0 e 1, sendo 0 o evento nunca ocorrer, e 1 o evento ocorrer todas as vezes).
Para a alternativa a), analisamos a seguinte situação:
- Número de casos favoráveis: 3. Entre as seis faces do dado, os valores pares são 2, 4, 6.
- Número de casos totais: 6. As seis faces do dado que podem ser obtidas ao lançar o dado.
Assim, a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado é obtida pela divisão = 50%.
Para a alternativa b), analisamos a seguinte situação:
- Número de casos favoráveis: 2. Entre as seis faces do dado, os valores menores que três são 1 e 2;
- Número de casos totais: 6. As seis faces do dado que podem ser obtidas ao lançar o dado.
Assim, a probabilidade de obtermos um número menor que 3 no lançamento de um dado é obtida pela divisão = 33,33%.
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