Question

ATIVIDADE
Segue fórmulas da PA.
an = a1 + ( n - 1). r e Sn = (a1 + an) . n / 2
1) Calcule a soma dos 35 termos da PA (12, 7, 2, ...).
2) Qual é a soma dos 80 primeiros termos da PA, cujo a1 = - 10 e r = 3?
3) Qual é a PA, cujo a1 = - 20, an = 2n e Sn = 24?
4) Quantos termos tem a PA (1, 4, 7, ...) e cuja soma é 145?
5) Ache a soma da PA de 8 termos, cuja razão é igual a - 4 e o ultimo termo é - 29.
6) Qual é a soma da PA (- 33, ..., 3), sabendo que ela tem 10 termos?
7) Determine a razão da PA, cujo a1 = 5 e a7.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Segue fórmulas da PA.

an = a1 + ( n - 1). r

Sn = (a1 + an) . n / 2

1) Calcule a soma dos 35 termos da PA (12, 7, 2, ...).

PRIMEIRO achar (R)

a1 = 12

a2 = 7

R = a2 - a1

R = 7 - 12

R = - 5   ( razão)

ACHAR (an)

n = 35    ( 35 termos)

an = ??? achar

an = a1 + (n - 1)R

an = 12 + (35 - 1)(-5)

an = 12 + (34)(-5)

an = 12 - 170

an = - 158

        (a1 + an)n

Sn = -----------------

              2

         (12 - 158)35

Sn = ---------------------

                 2

         (-146)35               - 5.110

Sn = -------------------- = ------------- = - 2.555

                2                    2

Sn = - 2.555  ( Soma)

2) Qual é a soma dos 80 primeiros termos da PA,

cujo

a1 = - 10

r = 3

n = 80    ( 80 primeiros)

an = ???  achar

an = a1 + (n - 1)R

an = - 10 + (80 - 1)(3)

an = - 10 + (79)3

an = -10 + 237

an = 227

          (a1 + an)n

Sn = ----------------

            2

         (-10 + 227)80             (217)80         17.360

Sn = --------------------- =---------------------- = ------------- = 8.680

                         2                    2                     2

Sn = 8.680 ( soma)

3) Qual é a PA, cujo

a1 = - 20

an = 2n

Sn = 24?

n = ???   números de termos

          (a1 + an)n

Sn = -----------------

              2

     

        (-20 + 2n)n

24 = ------------------

                2

         -20n + 2n²

24 = --------------------

              2                              passa o (2) multiplicando

2(24) = -   20n + 2n²

48 = - 20n + 2n²   mesmo que

- 20n + 2n² = 48    zero da função   OLHA o sinal

- 20n + 2n² - 48 = 0  arruma a casa

2n² - 20n - 48 = 0     poderiamos DIVIDIR tudo por (2))  deixa assim

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

ax² + bx + c =0

2n² - 20n - 48 = 0

a = 2

b =- 20

c = - 48

Δ = b² - 4ac

Δ = (-20)² - 4(2)(-48)

Δ = +20x20 - 4(-96)

Δ = + 400      + 384

Δ = + 784  ===============> √Δ = √784 = √28x28 = 28

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(Baskara)

     - b ± √Δ

n = --------------

           2a

        -(-20) - √784         + 20 - 28          - 8

n' = ---------------------- =-------------------- = --------- = - 2

              2(2)                    4                      4

e

         -(-20) + √784      + 20 + 28        + 48

n'' = ---------------------- = ------------------ = --------- = 12

               2(2)                       4                   4

assim as duas raizes

n' = - 2   ( desprezamos por SER NEGATIVO)

n'' = 12  

n = número de termos (12 termos)

assim

n = 12

an = 2n

an = 2(12)

an = 24

ACHAR o (R = razão)

an = a1 + (n - 1)R

24 = -20  + (12 - 1)R

24 = - 20 + (11)R

24 = - 20 + 11R  mesmo que

- 20 + 11R = 24

11R = 24 + 20

11R = 44

R = 44/11

R = 4  ( razão)

a1 = -20

a2 = - 20 + 4 = - 16

a3 = - 16 + 4 =  -12

a4 = -12 + 4 = - 8

a5 = - 8 + 4 = - 4

a6 =- 4 + 4 = 0

a7 = 0 + 4 = 4

a8 = 4 + 4 =8

a9 = 8 + 4 = 12

a10 = 12 + 4 = 16

a11 = 16 + 4 = 20

a12 = 20 + 4 = 24

assim a PA

PA = { -20,-16,-12,-8,-4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}

         

4) Quantos termos tem a PA (1, 4, 7, ...) e cuja soma é 145?

a1 = 1

a2 = 4

R = a2 - a1

R = 4 - 1

R = 3  ( razão)

an = ????

an = a1 + (n - 1)R

an =  1 + (n - 1)3  

an = 1 + 3n - 3

an = 3n - 3 + 1

an = 3n - 2

         (a1 + an)n

Sn = -------------------

               2

        (1 +( 3n - 2))n

145 = ----------------

             2

2(145) = (1 + (3n - 2))n

290     = (1 - 2 + 3n)n

290 =   (- 1 + 3n)n

290 = - n + 3n²   mesmo que

- n + 3n² = 290    zero da função

- n + 3n² - 290  = 0  arruma a casa

3n²- n - 290 =0

a = 3

b = - 1

c = - 290

Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4(3)(-290)

Δ = +1x1  - 4(-870)

Δ  = + 1      + 3.480

Δ = 3.481  =============> √Δ = √3481 = √59x59 = 59

se

Δ > 0 ( DUAS  razies diferentes)

(Baskara)

      - b ± √Δ

n = --------------

           2

      -(-1) - √3481           + 1 - 59          - 58

n' = ---------------------- = ---------------- =---------------

             2(3)                       6                 6        

e

        -(-1) + √3481    + 1 + 59         + 60

n'' = -------------------- = ------------- = -------- =10

             2(3)                    6                 6

assim

as duas raizes

n' =- 58/6  desprezamos ( FRAÇÃO e NEGATIVO)

n'' = 10

n = 10 termos  resposta

5) Ache a soma da PA de 8 termos, cuja razão é igual a - 4 e o ultimo termo é - 29.

a1 ???

an = - 29

R =- 4

n = 8     ( 8 termos)

an = a1 + (n - 1)R

- 29 = a1 + (8 - 1)(-4)

- 29 = a1 +(7)(-4)

- 29 = a1 - 28

a1 - 28 = - 29

a1 =- 29 + 28

a1=- 1

        (a1 +an)n

Sn = ------------------

             2

        (-1 - 29)8

Sn = ---------------

              2

         (-30)8            - 240

Sn = --------------- = ------------- = - 120

               2                  2

Sn = - 120  ( soma)

6) Qual é a soma da PA (- 33, ..., 3), sabendo que ela tem 10 termos?

a1 = - 33

an = 3

n = 10  termos

       (a1 + an)n

Sn =---------------

            2

        (-33 + 3)10

Sn = ----------------

               2

         (-30)10            - 300

Sn = --------------- =--------------- = - 150

            2                    2

Sn = - 150  (  Soma)

7) Determine a razão da PA, cujo a1 = 5 e a7.

a1 = 5

a7 = an =

n = 7 = a7

an = a1  + (n - 1)R

a7 = 5 + (7 - 1)R

a7 =  5 + (6)R

a7 = 5 + 6R

assim

a7= an

an = 5 + 6R