Question

Atividade
Considere a série dada a seguir:

$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n!}{3^{n} }$

Quanto a sua convergência, pode-se afirmar que ela é.


alternada.

divergente.

convergente.

absolutamente convergente.

condicionalmente convergente.

Answer 1

A série dada é divergente

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n!}{3^n} \text{ diverge pois } \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1\end{gathered} }$

Podemos verificar a convergência da série através do teste da razão, seja aₙ uma série de termos positivos

                                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n = 0}^{\infty} a_n \end{gathered}$

O critério da razão nos garante que

                                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L\end{gathered} }$

• L < 1, absolutamente convergente
• L > 1 ou L = ∞, divergente
• L = 1, inconclusivo

Portanto na série em questão vemos que

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}a_n = \frac{n!}{3^n}\end{gathered}$

Aplicando o críterio temos

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{3^{n+1}}}{\frac{n!}{3^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(n+1\right)!}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^n}{n!} \end{gathered} }$

Veja que podemos simplificar as potências e expandir o fatorial, sendo assim

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)n!}{n!}\cdot\frac{1}{3}\end{gathered}$

Simplificando

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{3}\end{gathered}$

É evidente que o resultado desse limite é

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{3} = \infty\end{gathered}$

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                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n!}{3^n} \text{ diverge} \end{gathered}$

Espero ter ajudado

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