Question

Atividade Complementar
Números figurados triangulares
Pode-se obter números triangulares através da soma de
números naturais consecutivos,
1
1 + 2 = 3
1+ 2+ 3 + 4 = 10
1 + 2 - 3 + 4 + 5 = 15
Vamos ilustrar essa sequência numérica utilizando as bolas de
sinuca
1
1


vejam a imagem ​

Answer 1

Resposta:

sim

22 = 4 = 1 + 3 = T1 + T2

32 = 9 = 3 + 6 = T2 + T3

42 = 16 = 10 + 6 = T4 + T3

52 = 15 + 10 = T5 + T4 e assim sucessivamente.

Explicação passo-a-passo:

Então, de uma forma genérica, n2 = Tn + Tn-1 , para n > 1 e inteiro.

Vamos provar isto.

Ora, já sabemos que Tn = [n (n + 1)] / 2 .

Para Tn-1, teremos: Tn-1 = [(n-1)(n – 1 + 1)] / 2 = [(n – 1) . n] / 2

Então,

Tn + Tn – 1 = [n (n + 1)] / 2 + [(n – 1) . n] / 2 = (n2 + n) / 2 + (n2 – n) / 2

Efetuando a soma indicada e simplificando obteremos finalmente:

Tn + Tn – 1 = n2 , o que comprova a afirmação do item (b).

Daí podemos inferir que a soma de dois números triangulares consecutivos é sempre

um quadrado perfeito.

Os números triangulares foram estudados por Pitágoras matemático e filósofo grego do século VI AC.

Poderemos também expressar um número triangular usando a Análise Combinatória.

Dos nossos conhecimentos de Análise Combinatória, poderemos escrever:

Cn+1, 2 = (n + 1)! / (n + 1 – 2)!.2! = (n+1)! / (n – 1)!.2! = (n+1).n.(n-1)! / (n-1)!.2.1

Simplificando, obteremos:

Cn+1, 2 = (n+1).n / 2 que é a mesma expressão para o enésimo número triangular, conforme vimos acima. Logo, poderemos concluir finalmente que:

Tn = Cn+1, 2 para n = 1, 2, 3, 4, ...

Portanto, o número de combinações simples de (n + 1) elementos associados 2 a 2 resulta no número triangular Tn .

Se considerarmos uma reunião de n pessoas, na qual todos se cumprimentam entre si,

qual seria o total de cumprimentos?

Vamos achar a resposta em função dos números triangulares.

Ora, se A aperta a mão de B, isto é a mesma coisa de B apertar a mão de A . Portanto,

para saber o resultado, basta calcular o número de combinações simples de n elementos tomados dois a dois, ou seja:

Cn, 2 = n! / (n – 2)!.2! = n (n – 1)(n – 2)! / (n – 2)!.2.1 = [n (n – 1)] / 2

Ora, n (n – 1) / 2 é exatamente o número triangular Tn-1 , pois:

Como Tn = n (n + 1) / 2, substituindo n por n – 1 vem exatamente:

Tn – 1 = n (n – 1) / 2

Portanto, numa reunião de n pessoas na qual todos cumprimentam-se entre si, haverão

Tn-1 cumprimentos, onde Tn -1 é um número triangular.

Por exemplo, numa reunião de 10 pessoas onde todos cumprimentam-se entre si,

teremos um total de T10 – 1 = T9 = 9.10 / 2 = 45 cumprimentos, ou seja, o número triangular T9.

(espero ter ajudado )