Question

@Ghallas.

Integre o seguinte problema:

$\int {e^{-x} \cdot cos(2x)} \, dx$

Explique passo-a-passo de forma organizada e detalhada.​

Answer 1

Nossa resposta é $\begin{gathered} \displaystyle \bold{\int e^{-x}\cos(2x)\, dx=\frac{2\sin(2x)-\cos(2x)}{5e^x}+C} \end{gathered}$

Gostaríamos de integrar a seguinte integral:

$\begin{gathered} \displaystyle \int e^{-x}\cdot \cos(2x)\, dx \end{gathered}$

Como este é um produto de duas funções, podemos considerar o uso de Integração por Partes fornecida por:

$\displaystyle \int u\, dv =uv-\int v\, du$

Então, vamos escolher nosso u e dv. Podemos escolher u com base nas seguintes diretrizes: LIATE; ou, logarítmico, trig. inverso, algébrico, trigonométrico e exponencial.

Uma vez que o trigonométrico vem antes do exponencial, vamos deixar:

$u=\cos(2x)\text{ e } dv=e^{-x}\, dx$

Encontrando o diferencial da esquerda e integrando a direita, adquirimos:

$du=-2\sin(2x)\text{ e } v=-e^{-x}$

Então, nossa integral se torna:

$\begin{gathered}\displaystyle \int e^{-x}\cdot \cos(2x)\, dx=(\cos(2x))(-e^{-x})-\int (-e^{-x})(-2\sin(2x))\, dx \end{gathered}$

Simplifique:

$\begin{gathered}\displaystyle \int e^{-x}\cdot \cos(2x)\, dx=-e^{-x}\cos(2x)-2\int e^{-x}\sin(2x)\, dx \end{gathered}$

Como acabamos com outra integral de um produto de duas funções, podemos aplicar a integração por partes novamente. Usando as diretrizes acima, obtemos que:

$u=\sin(2x)\text{ e } dv=e^{-x}\, dx$

Encontrando o diferencial da esquerda e integrando a direita, adquirimos:

$du=2\cos(2x)\, dx\text{ e } v=-e^{-x}$

Isso produz:

$\begin{gathered}\displaystyle \int e^{-x}\cdot \cos(2x)\, dx=-e^{-x}\cos(2x)-2\Big[(\sin(2x))(-e^{-x})-\int (-e^{-x})(2\sin(2x))\, dx\Big] \end{gathered}$

Simplifique:

$\begin{gathered}\displaystyle \int e^{-x}\cdot \cos(2x)\, dx=-e^{-x}\cos(2x)-2\Big[-e^{-x}\sin(2x)+2\int e^{-x}\cos(2x)\, dx\Big] \end{gathered}$

Podemos distribuir:

$\begin{gathered}\displaystyle \int e^{-x}\cdot \cos(2x)\, dx=-e^{-x}\cos(2x)+2e^{-x}\sin(2x)-4\int e^{-x}\cos(2x)\, dx \end{gathered}$

A integral à direita é a mesma que a integral original. Então, podemos isolá-lo:

$\begin{gathered}\displaystyle \Big(\int e^{-x}\cos(2x)\, dx\Big)+4\Big(\int e^{-x}\cos(2x)\, dx)\Big)=-e^{-x}\cos(2x)+2e^{-x}\sin(2x) \end{gathered}$

Combine integrais semelhantes:

$\begin{gathered}\displaystyle 5 \int e^{-x}\cos(2x)\, dx=-e^{-x}\cos(2x)+2e^{-x}\sin(2x) \end{gathered}$

Podemos fatorar um e⁻ˣ da direita:

$\begin{gathered}\displaystyle 5\int e^{-x}\cos(2x)\, dx=e^{-x}\Big(-\cos(2x)+2\sin(2x)\Big) \end{gathered}$

Dividindo ambos os lados por 5 resulta:

$\begin{gathered}\displaystyle \int e^{-x}\cos(2x)\, dx=\frac{e^{-x}}{5}\Big(-\cos(2x)+2\sin(2x)\Big) \end{gathered}$

Reescreva. É claro que também precisamos da constante integração.

$\begin{gathered}\displaystyle\boxed{\int e^{-x}\cos(2x)\, dx=\frac{2\sin(2x)-\cos(2x)}{5e^x}+C} \end{gathered}$