Question

Até que ponto o segmento de extremos A (4, -2) e B(2/3, -1) deve ser prolongado no sentido AB para que seu comprimento triplique ?​

Answer 1

O segmento AB deve ser prolongado até o ponto (-6, 1).

Distância entre pontos

A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula:

d² = (xB - xA)² + (yB - yA)²

Primeiro, vamos calcular o comprimento do segmento AB:

AB² = (2/3 - 4)² + (-1 - (-2))²

AB² = 100/9 + 1

AB² = 109/9

AB = √109/3 u

Para que seu comprimento triplique, deve-se ter:

3·AB = √109/3 = √109 u

O novo ponto B'(x, y) em que AB será prolongado deve pertencer à mesma reta de AB, ou seja:

y = ax + b

-2 = 4a + b

-1 = 2a/3 + b

Subtraindo as equações:

-1 = 4a - 2a/3

-1 = 10a/3

a = -3/10

b = -4/5

A reta que contém AB será y = -3x/10 - 4/5. Logo, o ponto B' terá coordenadas dadas por (x, -3x/10 - 4/5):

√109² = (x - 4)² + (-3x/10 - 4/5 - (-2))²

109 = x² - 8x + 16 + (-3x/10 + 6/5)²

109 = x² - 8x + 16 + 9x²/100 - 18x/25  + 36/25

Multiplicando por 100:

10900 = 100x² - 800x + 1600 + 9x² - 72x + 144

109x² - 872x - 9156 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, encontra-se: x' = 14 e x'' = -6. Como x = 14 está no sentido BA, as coordenadas de B' são:

B' = (-6, -3·(-6)/10 - 4/5) = (-6, 1)

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https://brainly.com.br/tarefa/27124830

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