Question

ASSUNTO: LOGARITMO Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
a)log_8⁡16 e)log_7⁡〖1/7〗 i)log_9⁡〖1/27〗
b)log_3⁡〖1/9〗 f)log_27⁡81 j)log_0,25⁡8
c)log_81⁡3 g)log_125⁡25 k)log_25⁡0,008
d)log_(1/2)⁡8 h)log_(1/4)⁡32 l)log_0,01⁡0,001

Answer 1

a)

$log_{8}16$

$log_{8}16 = x$

${8}^{x} = 16$

${( {2}^{ 3} )}^{x} = {2}^{4}$

${2}^{3x} = {2}^{4}$

$3x = 4$

$\bold\red{x = \frac{4}{3} }$

......................................

b)

$log_{ 3} \frac{1}{9}$

$log_{ 3} \frac{1}{9} = x$

${3}^{x} = \frac{1}{9}$

${3}^{x} = \frac{1}{ {3}^{2} }$

${3}^{x} = {3}^{ - 2}$

$\bold\red{x = - 2}$

........................

c)

$log_{81}3$

$log_{81}3 = x$

${81}^{x} = 3$

$({3}^{4} )^{x} = 3$

${3}^{4x} = {3}^{1}$

$4x = 1$

$\bold \red{x = \frac{1}{4} }$

...................

d)

$log_{ \frac{1}{2} }8$

$log_{ \frac{1}{2} }8 = x$

${( \frac{1}{2} )}^{x} = 8$

${( \frac{1}{ {2}^{1} } )}^{x} = {2}^{3}$

${ {(2}^{ - 1}) }^{x} = {2}^{3}$

${2}^{ - 1x } = {2}^{3}$

$- 1x = 3$

$x = \frac{3}{ - 1}$

$\bold \red{x = - 3}$

..................

e)

$log_{7} \frac{1}{7}$

$log_{7} \frac{1}{7} = x$

${7}^{x} = \frac{1}{7}$

${7}^{x} = \frac{1}{ {7}^{1} }$

${7}^{x} = {7}^{ - 1}$

$\bold\red{x = - 1}$

......................

f)

$log_{27}81$

$log_{27}81 = x$

${27}^{x} = 81$

${ {(3}^{3}) }^{x} = {3}^{4}$

${3}^{3x} = {3}^{4}$

$3x = 4$

$\red{\bold{x = \frac{4}{3} }}$

..................

g)

$log_{125}25$

$log_{125}25 = x$

${125}^{x} = 25$

${ {(5}^{3} )}^{x} = {5}^{2}$

${5}^{3x} = {5}^{2}$

$3x = 2$

$\bold\red{x = \frac{2}{3} }$

.......................

h)

$log_{ \frac{1}{4} }32$

$log_{ \frac{1}{4} }32 = x$

${( \frac{1}{4} )}^{x} = 32$

${( \frac{1}{ {2}^{2} } )}^{x} = {2}^{5}$

${ ({2}^{ - 2}) }^{x} = {2}^{5}$

${2}^{ - 2x} = {2}^{5}$

$- 2x = 5$

$x = \frac{5}{ - 2}$

$\bold\red{x = - \frac{5}{2} }$

....................

i)

$log_{9} \frac{1}{27}$

$log_{9} \frac{1}{27} = x$

${9}^{x} = \frac{1}{27}$

${ ({3}^{2}) }^{x} = \frac{1}{ {3}^{3} }$

${3}^{2x} = {3}^{ - 3}$

$2x = - 3$

$\red{ \bold{x = - \frac{ 3}{2} }}$

...................

j)

$log_{0,25 }8$

$log_{0,25 }8 = x$

${ 0,25}^{x} = 8$

$(\frac{25}{100} )^{x} = 8$

${( \frac{25 \div 25}{100 \div 25}) }^{x} = 8$

${ ( \frac{1}{4} ) }^{x} = 8$

${ ( \frac{1}{ {2}^{2} } )}^{x} ={2}^{3}$

${( {2}^{ - 2}) }^{x} = {2}^{3}$

${2}^{ - 2x } = {2}^{3}$

$- 2x = 3$

$x = \frac{3}{ - 2}$

$\bold{ \red{x = - \frac{ 3 }{2} }}$

...............

k)

$log_{25}0,008$

$log_{25}0,008 = x$

${25}^{x} = 0,008$

${25}^{x} = \frac{8}{1000}$

SIMPLIFICANDO A FRAÇAO:

${25}^{x} = \frac{8 \div 8}{1000 \div 8}$

${25}^{x} = \frac{1}{125}$

${( {5}^{2}) }^{x} = \frac{1}{ {5}^{3} }$

${5}^{2x} = {5}^{ - 3}$

$2x = - 3$

$\bold{ \red{x = - \frac{ 3}{2} }}$

.......................

l)

$log_{0 ,01 }0,001$

$log_{0 ,01 }0,001 = x$

${(0 ,01)}^{x} = 0,001$

$(\frac{1}{100} )^{x} = \frac{1}{1000}$

${( { \frac{1}{ {10}^{2} } )}}^{x} = \frac{1}{ {10}^{3} }$

$( {10}^{ - 2} )^{x} = {10}^{ - 3}$

${10}^{ - 2x} = {10}^{3}$

$- 2x = 3$

$x = \frac{3}{ - 2}$

$\bold{\red{x = - \frac{3}{2} }}$

explicaçao:

a definiçao de logaritmo:

$log_{a}b = c\: \: \: \: \: \: ➯ \: \: \: \: \: {a}^{c} = b$

as letras b , a , c sao os numeros.

quando temos :$log_{a}b$ , para aplicar a definiçao igualamos a " x " e aplicamos a definiçao. igualamos ao x porque nao sabemos quanto vale aquilo entao o x ajuda a descobrir.

SEMPRE FATORE PARA CHEGAR A MESMA BASE NOS DOIS LADOS PARA NO FIM PODER IGUALAR OS EXPOENTES. isso é equaçao exponencial!

LEMBRE QUE QUANDO TEMOS NUMEROS MUITO DIFERENTES QUE É MEIO IMPOSSIVEL FATORAR AQUILO EM UMA MESMA BASE, vai simplificando as fraçoes.

lembre que as respostas que fui dando em fraçao voce pode dividir e ter o numero com virgula caso sua profe queira.

tipo:$\bold{ \red{x = - \frac{ 3}{2} }}$

voce pode responder assim em fraçao oupode dividir o 3 pelo 2.

$\bold{ \red{x = - \frac{ 3}{2} }}$

OU

$\bold{ \red{x = - 1,5 }}$

..........

LEMBRE-SE DA REGRA DE POTENCIAÇAO:

$\large{ \frac{1}{{a}^{ b}} \: \: \: \:⇔ \: \: \: {a}^{- b}}$