Question

Assunto Integrais duplas.
alguém responde explica ai pf

Answer 1

Olá



$\displaystyle\mathsf{\int^{2}_{-2}\int^{2}_{1}(xy-x^2)dxdy}$



Veja que a primeira integral, ou a integral de 'dentro' está em dx... veja:


$\displaystyle\mathsf{\int^{2}_{-2}\left[\int^{2}_{1}(xy-x^2)dx\right ]dy}$



Isso implica na ordem de integração.

Se a primeira variável está em 'dx', então iremos integrar a variável 'x', todas as outras variáveis restantes se tornarão constantes. É uma regra, não importa se é integral dupla, tripla, [...]

O mesmo vale se o 'dy' estivesse 'na frente' do 'dx'. Iriamos integrar em 'dy' primeiro.

Acho que já ficou claro.


Então, integrando na variável 'x'... com isso 'y' torna-se constante.



$\displaystyle\mathsf{\int^{2}_{-2}\left[~~\left( \frac{x^{1+1}}{1+1}\cdot y- \frac{x^{2+1}}{2+1} \right)\bigg|^2_1~~\right ]dy}\\\\\\\\\mathsf{\int^{2}_{-2}\left[~~\left( \frac{x^{2}y}{2}- \frac{x^3}{3} \right)\bigg|^2_1~~\right ]dy}$


Substitui os limites de integração na variável 'x';



$\displaystyle \mathsf{\int^{2}_{-2}\left[~~\left( \frac{(2)^{2}y}{2}- \frac{(2)^3}{3} \right)~-~\left( \frac{(1)^{2}y}{2}- \frac{(1)^3}{3} \right)~~\right ]dy}\\\\\\\\ \mathsf{\int^{2}_{-2}\left[~~ 2y- \frac{8}{3} ~-~ \frac{y}{2}- \frac{(1)^3}{3} ~~\right ]dy}}\\\\\\\\\mathsf{\int^{2}_{-2}\left( \frac{3y}{2}~-~ \frac{7}{3} \right)dy}$



Perceba que a variável 'x' "sumiu". Bom, só resta um variável.



Integrando em 'dy'.


$\displaystyle\mathsf{\int^{2}_{-2}\left( \frac{3y}{2}~-~ \frac{7}{3} \right)dy}\\\\\\\mathsf{= \left(\frac{3}{2} \cdot \left[\frac{y^{1+1}}{1+1}\right] ~-~ \frac{7}{3}y\right)\bigg|^2_{-2} }\\\\\\\\\mathsf{= \left(\frac{3y^2}{4} ~-~ \frac{7y}{3} \right)\bigg|^2_{-2}}$



Substituindo os limites de integração.


$\displaystyle \mathsf{= \left(\frac{3(2)^2}{4} ~-~ \frac{7(2)}{3} \right)~-~\left(\frac{3(-2)^2}{4} ~-~ \frac{7(-2)}{3} \right)}}\\\\\\\\\mathsf{= \left(\frac{12}{4} ~-~ \frac{14}{3} \right)~-~\left(\frac{12}{4} ~-~ \frac{(-14)}{3} \right)}}\\\\\\\\\mathsf{=- \frac{5}{3}~-~ \frac{23}{3} }\\\\\\\boxed{\mathsf{=- \frac{28}{3} }}\qquad\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Resposta Final}$