Associe Verdadeiro ou Falso
a) AcX e BcX , então (AuB) c X
b) AnØ=Ø
c) AcB , então AnB=A
d) AnB ≠ BnC
e) AcX e BcX , então (AnB) c X
f) An(BnC)=(AnB)nC
OBS = o (n) é o sinal de interseção.
Soluções para a tarefa
Resposta:
1) Dados os subconjuntos
A
,
B
e
C de Ω (suponha
A
,
B
e
C n˜ao-vazios), mostre que
a)
A
∩
(
B
∪
C) = (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C).
b)
A
∪
(
B
∩
C) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C).
c) (
A
∪
B
)
c
=
A
c
∩
B
c
.
d) (
A
∩
B
)
c
=
A
c
∪
B
c
.
e)
A
\
B
=
A
∩
B
c
.
1a) Mostrar-se-´a, inicialmente, que
A
∩
(
B
∪
C
)
⊂
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C). Se
x
∈
A
∩
(
B
∪
C) (
x arbitr´ario),
ent˜ao
x pertence a
A
e
x pertence a
B ou
C, o que implica
x pertencer a
A
e
B ou
x pertencer a
A
e
C
;
logo,
x
∈
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C), completando a primeira parte da prova.
Reciprocamente, considere
x
∈
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C) (
x arbitr´ario). Desta forma,
x pertence a
A
e
B ou
x
pertence a
A
e
C, e isto implica
x pertencer a
A e tamb´em pertencer a
B ou
C; em suma,
x
∈
A
∩
(
B
∪
C),
donde segue (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
⊂
A
∩
(
B
∪
C).
De
A
∩
(
B
∪
C
)
⊂
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C) e (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
⊂
A
∩
(
B
∪
C), tem-se
A
∩
(
B
∪
C) = (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C).
1b) Mostrar-se-´a, inicialmente, que
A
∪
(
B
∩
C
)
⊂
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C). Se
x
∈
A
∪
(
B
∩
C) (
x arbitr´ario),
ent˜ao
x pertence a
A ou
x pertence a
B
e
C, o que implica
x pertencer a
A ou
B
e
x pertencer a
A ou
C
;
logo,
x
∈
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C), completando a primeira parte da prova.
Reciprocamente, considere
x
∈
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C) (
x arbitr´ario). Desta forma,
x pertence a
A ou
B
e
x
pertence a
A ou
C, e isto implica
x pertencer a
A ou pertencer a
B
e
C; em suma,
x
∈
A
∪
(
B
∩
C), donde
segue (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
⊂
A
∪
(
B
∩
C).
De
A
∪
(
B
∩
C
)
⊂
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C) e (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
⊂
A
∪
(
B
∩
C), tem-se
A
∪
(
B
∩
C) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C).
1c) Mostrar-se-´a, inicialmente, que (
A
∪
B
)
c
⊂
A
c
∩
B
c
. Se um
x arbitr´ario pertence a (
A
∪
B
)
c
, ent˜ao ele
n˜ao pertence a
A
∪
B;
Explicação passo-a-passo: