Question

Assinale o valor da integral definida da função f(x)=2x+1, para 0≤x≤3

Answer 1

Queremos calcular a integral definida dada por

$\displaystyle \int\limits}_0^3 2x+1\,dx$

Quando queremos integrar um polinômio podemos utilizar um resultado clássico que vem da derivação, uma vez que a derivação é o operador inverso à integração (vide teorema fundamental do cálculo).

$\displaystyle \int x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

Como a integral é linear, então integrar um polinômio é como integrar cada xⁿ separadamente. Na nossa integral isso é dado integrando x em x²/2, e 1 em x/1, ou seja,

$\displaystyle \int\limits}_0^3 2x+1\,dx = 2\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x}{1} \Bigg|\limits_0^3 = x^2+x\Bigg|\limits_0^3$

A barra é o que diferencia a integral definida da indefinida, já que na indefinida a constante de integração (+C) é colocada junto à primitiva, na definida fazemos

$\displaystyle \int\limits}_a^b f(x)\,dx = F(x) \Bigg|\limits_a^b = F(b)-F(a)$

Onde F(x) é a primitiva de f(x). Aplicando isso para nossa primitiva x^2+x,

$\displaystyle \int\limits}_0^3 2x+1\,dx = (3^2+3)-(0^2+0) = 12-0$

$\displaystyle\boxed{ \int\limits_0^3 2x+1\,dx = 12}$