Question

Assinale o item que mais se aproxima do valor da área do círculo de centro O’, cuja circunferência é tangente
à circunferência de centro O de raio 5 cm e aos catetos AB e AC do triângulo retângulo ABC. Considere: pi≅3 √2 ≅ 1,4.
a) 40 cm2
b) 50 cm2
c) 60 cm2
d) 70 cm2

Answer 1

Resposta:

c) 60 cm²

Explicação passo a passo:

Chamamos a diferença entre os centros O e O' de x. Pela figura vemos que:

x + r = 5

x = 5 - r

Além disso, nos pontos de tangência o ângulo é 90º. Como BÂC é reto, de acordo com o enunciado, então formamos um quadrilátero em que todos os lados são 90º e que tem dois lados adjacentes iguais a r. Logo é um quadrado. (veja a figura).

Achado o quadrado, vemos que a diagonal dele é o (raio de O + x) e com isso podemos encontrar o valor de r:

$diagonal \ de \ um \ quadrado = l\sqrt{2}\\ \\ 5 + x = r\sqrt{2}\\ \\ 5 + (5-r) = r\sqrt{2}\\ \\ 10 = r\sqrt{2} + r\\ \\ 10 = r(\sqrt{2} + 1)\\ \\ r = \frac{10}{\sqrt{2}+1}\\ \\ r = \frac{10.(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} \ \ \ \ (racionalizacao)\\ \\ r = \frac{10.(\sqrt{2}-1)}{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}\\ \\ r = 10.(\sqrt{2}-1)\\ \\ Area = \pi.r^2\\ \\ Area = \pi.(10.(\sqrt{2}-1))^2$

$Area = \pi.(100.(2+1-2\sqrt{2}))\\ \\ Area = 3.(100.(3-2\sqrt{2}))\\ \\ Area = 300.(3-2.1,4))\\ \\ Area = 900 - 840\\ \\ \boxed{Area = 60 \ cm^2}$