Question

Assinale as afirmativas corretas.



A) Se x é um arco do 3.º quadrante, então sec x · cossec x < 0. 



B) Se x é um arco do 4.º quadrante e sec x = 3, então . 



C) Se sec α = k + 1 e tg α = k – 1, então . 



D) No triângulo retângulo da figura, .






E) Se sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0, então

Answer 1

Resposta:

a)Incorreta

b)Correta

c)Correta

d)Correta

e)Correta

Explicação passo-a-passo:

a)Se x é um arco do 3º quadrante, sabemos que cos(x)<0 e sen(x)<0.

Como sec(x)=1/cos(x),eles tem o mesmo sinal.E

cossec(x)=1/sen(x), tambem tem o mesmo sinal

Logo, sec(x)<0 e cossec(x)<0, logo sec(x).cossec(x)>0.

Afirmação errada.

b)Se sec(x)=3, usamos a equação:

$tg^2(x)+1=sec^2(x)\\tg^2(x)+1=9\\tg^2(x)=8\\tg(x)=\pm \sqrt 8\\tg(x)=\pm 2 \sqrt 2$

Agora usamos que x é do quarto quadrante, assim tg(x)<0 (pois sen(x)<0 e cos(x)>0). Logo, concluimos:

$tg(x)=-2\sqrt2$ e como cotg(x)=1/tg(x):

$cotg(x)= \frac{1}{-2\sqrt{2}} \\cotg(x)= -\frac{\sqrt{2}}{4}$, logo:

$tg(x)+cotg(x):\\\\=-2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\=-\frac{9\sqrt{2}}{4}$

Afirmação correta.

c)Temos:

$sec(\alpha)=k+1\\tg(\alpha)=k-1$

E usando mais uma vez:

$tg^2(x)+1=sec^2(x)\\(k-1)^2+1=(k+1)^2\\k^2-2k+1+1=k^2+2k+1\\1=4k, logo\\k=\frac{1}{4}$

Afirmação correta.

d)Calculamos a hipotenusa, sendo 10, temos pelo triângulo que :

$sen(\theta)=\frac{3}{5}\\cos(\theta)=\frac{4}{5}\\tg(\theta)=\frac{3}{4}$

Logo:

$cotg(\theta)+sec(\theta)+cossec(\theta):\\=\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}\\=\frac{9}{3}+\frac{5}{4}\\=3+\frac{5}{4}\\=\frac{17}{4}$

Afirmação correta

e)Já temos as restrições para que os denominadores não sejam 0, logo não temos problemas de dominio. Sabemos as 2 equações:

$1+tg^2(x)=sec^2(x)\\1+cotg^2(x)=cossec^2(x)$, assim a expressão ficaria:

$\frac{1}{1+tg^2(x)}+\frac{1}{1+cotg^2(x)}\\=\frac{1}{sec^2(x)}+\frac{1}{cossec^2(x)}\\=cos^2(x)+sen^2(x)\\=1$

Afirmação correta