Question

Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta uma solução particular para a EDO y " − 3 y ′ = t 2

Answer 1

Aplicando a transformada de Laplace:

$\mathcal{L}[y"] - 3 \cdot \mathcal{L}[y] = \mathcal{L}[t^2]$

$s^2 \cdot Y(s) - s \cdot y(0) - y'(0) - 3 \cdot s \cdot Y(s) + 3 \cdot y(0) = \dfrac{2!}{s^3}$

$Y(s) \cdot (s^2 - 3 \cdot s) + y(0) \cdot (3 - s) - y'(0) = \dfrac{2!}{s^3}$

$Y(s) \cdot (s^2 - 3 \cdot s) = \dfrac{2}{s^3} -y(0) \cdot (3 - s) + y'(0)$

$Y(s)= \dfrac{2}{s^3 \cdot (s^2 - 3 \cdot s)} -\dfrac{y(0) \cdot (3 - s)}{(s^2 - 3 \cdot s)} + \dfrac{y'(0)}{s^2 - 3 \cdot s}$

$Y(s)= \dfrac{2}{s^3 \cdot s \cdot(s - 3)} +\dfrac{y(0)}{s} + \dfrac{y'(0)}{s \cdot (s-3)}$

Aplicando frações parciais para a primeira fração:

$\dfrac{2}{s^3 \cdot s \cdot(s - 3)} = \dfrac{a \cdot s^3 + b \cdot s^2 + c \cdot s + d}{s^4} + \dfrac{e}{s - 3}$

Precisamos encontrar os coeficientes a, b, c, d,e.

$a \cdot s^3 \cdot (s - 3) + b \cdot s^2\cdot (s - 3) + c \cdot s\cdot (s - 3) + d\cdot (s - 3) + e \cdot s^4 = 2$

$a \cdot s^4- 3\cdot a \cdot s^3 + b \cdot s^3 - 3\cdot b \cdot s^2 + c \cdot s^2 - 3 \cdot c \cdot s + d\cdot s - 3 \cdot d + e \cdot s^4 = 2$

Construindo o sistema linear:

$\left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&1&0\\-3&1&0&0&0&0\\0&-3&1&0&0&0\\0&0&-3&1&0&0\\0&0&0&-3&0&2\end{array}\right]$

A solução deste sistema é:

$\left(\dfrac{2}{81},-\dfrac{2}{81},-\dfrac{2}{27},-\dfrac{2}{9},-\dfrac{2}{3} \right)$

Aplicando frações parciais para a terceira fração:

$\dfrac{y'(0)}{s \cdot (s-3)} = \dfrac{f}{s} + \dfrac{g}{s-3}$

Como não conhecemos as condições iniciais do problema, f e g são simplesmente constantes.

Agora, aplicando a transformada inversa de Laplace:

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{\dfrac{2}{81} \cdot s^3 -\dfrac{2}{81} \cdot s^2 -\dfrac{2}{27} \cdot s -\dfrac{2}{9}}{s^4} - \dfrac{\dfrac{2}{3}}{s - 3}\right] \\+ \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{y(0)}{s}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{f}{s} + \dfrac{g}{s-3}\right]$

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{\dfrac{2}{81}}{s} -\dfrac{\dfrac{2}{81}}{s^2} -\dfrac{\dfrac{2}{27}}{s^3} -\dfrac{\dfrac{2}{9}}{s^4} - \dfrac{\dfrac{2}{3}}{s - 3}\right] \\+ \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{y(0)}{s}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{f}{s} + \dfrac{g}{s-3}\right]$

$y(t) = \dfrac{2}{81} \cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s}\right] -\dfrac{2}{81} \cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2}\right] -\dfrac{1}{27}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{2}{s^3}\right] -\dfrac{2}{9}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^4}\right] - \dfrac{2}{3}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s - 3}\right] \\+ \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{y(0)}{s}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{f}{s}\right] + \left[\dfrac{g}{s-3}\right]$

$y(t) = \left[\dfrac{2}{81} -\dfrac{2}{81} \cdot t -\dfrac{1}{27}\cdot t^2 -\dfrac{1}{27}\cdot t^3 - \dfrac{2}{3}\cdot e^{3 \cdot t} + y(0) + f + g \cdot e^{3 \cdot t}\right] \cdot u(t)$

Vou ter que multiplicar tudo por 3 para chegar na resposta:

$y(t) = 3 \cdot \left[\dfrac{2}{81} -\dfrac{2}{81} \cdot t -\dfrac{1}{27}\cdot t^2 -\dfrac{1}{27}\cdot t^3 - \dfrac{2}{3}\cdot e^{3 \cdot t} + y(0) + f + g \cdot e^{3 \cdot t}\right] \cdot u(t)$

Chamarei as constantes:

$c_1 = 3 \cdot (y(0) + f)$

e:

$c_2 = 3 \cdot g$

$y(t) = \left[\dfrac{2}{27} -\dfrac{2}{27} \cdot t -\dfrac{1}{9}\cdot t^2 -\dfrac{1}{9}\cdot t^3 - 2\cdot e^{3 \cdot t} +c_1 + c_2 \cdot e^{3 \cdot t}\right] \cdot u(t)$