Matemática, perguntado por luanss1989, 3 meses atrás

Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y¿ = cos(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que faremos, é possível verificar que o valor presente de y(0,4) para nossa equação diferencial é de aproximadamente 2,619.

O método de Euler consiste em encontrar iterativamente a solução de uma equação diferencial de 1ª ordem e valores iniciais conhecidos para um intervalo de valores. Partindo de um valor inicial x0 e prosseguindo com um passo h, os valores da solução podem ser obtidos da seguinte forma:

$y _{ k + 1}= y _ k + h f \left( x _ k , y _ k\right)$

Em nosso problema temos o seguinte problema de valor inicial também conhecido por sua abreviatura PVI:

$\begin{cases} \large y ' = \cos (y)\\\\ \large y(0)= 3\end{cases}$

Uma forma de encontrar a solução deste problema de valor inicial é resolvê-lo por separação de variáveis visto que se trata de uma equação diferencial de primeira ordem, quando resolvido pelo método de separação de variáveis obteremos um valor que seria a solução do problema e outra forma de resolver este problema é pelo método de Euler mas por este podemos obter uma solução aproximada do PVI, esta aproximação pode ter um erro mínimo ou máximo.

Como queremos encontrar a aproximação deste PVI pelo método de Euler, podemos usar a equação mostrada acima.

Para começar com a aproximação da solução da nossa EDO devemos encontrar o valor de todas as interações que ela possui, as interações são os resultados aproximados que podem ser obtidos substituindo certos valores na solução particular da nossa equação diferencial. Primeiro vamos encontrar o valor da nossa primeira interação da nossa equação diferencial, para isso devemos substituir os valores iniciais da solução da nossa equação diferencial e além do valor do incremento h. Fazendo isso você obtém:

$\ y _{ 1}= 3 + 0{,}1\cdot f \left( x _ 0 , y _ 0\right)$

Em nossa expressão vemos que me falta apenas um único dado, este é o valor de $f (x _ 0, y _ 0)$ , este dado é o mesmo que substituir os valores iniciais de nossas variáveis em nossa equação diferencial não resolvida, se fizermos isso

$y (y _ 0 , x _ 0) = \cos (3)\\\\ y (y _ 0 , x _ 0)\approx - 0{,}989$

Vemos que substituindo esses valores em nossa equação diferencial obtivemos um valor aproximado dessa variável, se encontrarmos nossa primeira interação obtemos o resultado:

$y _{ 1}= 3 + 0{,}1\cdot (-0{,}989)\\\\ y _{1} = 3 -0{,}0989~~\to ~~ y _ 1 = 2{,}901$

Vemos que o valor da solução da equação diferencial no intervalo 0,1 diminuiu por uma pequena e notória diferença de algumas casas decimais, se continuarmos até obtermos a solução do nosso PVI podemos obter o valor da seguinte interação:

$y _{ 2}= 2{,}901+ 0{,}1 \cdot f \left ( x _ 1, y _ 1\right)$

Se substituirmos nossos novos dados em nossa equação diferencial obtemos um valor semelhante ao anterior, prova:

$y (y _ 1, x _ 1) = \cos (2{,}901)\\\\ y(y _ 1 , x _ 1)\approx- 0{,}971$

Calculamos a segunda interação da equação diferencial em um intervalo igual a 0,2 e obtemos o valor:

$\ y _{ 2}= 2{,}901+ 0{,}1 \cdot( -0{,}971)\\\\ y _ 2 = 2{,}901 -0{,}0971\\\\ y _ 2 =2 {,}803$

Parece que o valor de cada interação de nossa equação diferencial não está aumentando muito, então a solução pode estar entre um intervalo menor que 3 e um valor maior que 2,5, se continuarmos a encontrar o valor da próxima interação, obter a expressão:

$y _{3}= 2 {,}803+0{,}1 \cdot f \left ( x _ 2, y _2 \right)$

Se substituirmos nossos novos valores obtemos:

$\ y (y _ 2, x _ 2) = \cos( 2 {,}803)\\\\ y (y _ 2 , x _ 2)\approx -0{,}943$

Agora calculando o valor da terceira interação de acordo com os valores que obtivemos anteriormente:

$y _{3}= 2 {,}803+0{,}1 \cdot (-0{,}943 )\\\\ y _ 3 = 3{,}1996-0{,}0943\\\\ y _3 = 2{,}708$

Cada vez que estamos assumindo que o valor de y(0,4) nunca deixará para trás um valor de 4, então se continuarmos podemos encontrar a próxima e a última interação, a última interação é dada pela expressão:

$y _{4}= 2{,}708+ 0{,}1 \cdot f \left ( x _ 3, y _3 \right)$

Vamos seguir os passos acima:

$y (y _ 3,x _ 3) = \cos (2{,}708)\\\\ y (y _ 3 , x _ 3)\approx- 0{,}907$

Então a partir desses valores concluímos que o valor numérico aproximado de y(0,4) é:

$y _{4}= 2{,}708+ 0{,}1 \cdot( - 0{,}907)\\\\ y _4 = 2{,}708-0{,}0907\\\\ y _4 =2{,}617~~\to ~~ \boxed{\boxed{\bf y _4\cong 2{,}619~~(Calculadora) }}$