Question

Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta a solução PARTICULAR para a EDO y" + y' - 2y = sen(x).

Answer 1

Utilizando metodos de soluções por tentativa, temos que nossa solução particular desta EDO é:

$y=-\frac{1}{10}.cos(x)-\frac{3}{10}.sen(x)$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte EDO:

$y''+y'-2y=sen(x)$

Como queremos somente a solução particular e ela tem uma função fonte trigonometrica, então vamos supor uma solução do tipo trigonometrica:

$y=A.cos(x)+B.sen(x)$

Onde A e B são constante que temos que descobrir, assim vamos fazer as derivadas desta suposição:

$y=A.cos(x)+B.sen(x)$

$y'=-A.sen(x)+B.cos(x)$

$y''=-A.cos(x)-B.sen(x)$

Substituindo estas derivadas na EDO:

$y''+y'-2y=sen(x)$

$(-A.cos(x)-B.sen(x))+(-A.sen(x)+B.cos(x))-2(A.cos(x)+B.sen(x))=sen(x)$

Agrupando os termos do lado esquerdo por seno e cosseno:

$(-A+B-2A).cos(x)+(-B-A-2B).sen(x)=sen(x)$

$(-3A+B).cos(x)+(-3B-A).sen(x)=sen(x)$

Agora note que para os dois lados da equação serem iguais, precisamos que:

$-3A+B=0$

$-3B-A=1$

Isolando B em cima e  substituindo em baixo:

$-3(3A)-A=1$

$-9A-A=1$

$-10A=1$

$A=-\frac{1}{10}$

E como B = 3A:

$B=-\frac{3}{10}$

Assim temos que nossa solução particular é:

$y=-\frac{1}{10}.cos(x)-\frac{3}{10}.sen(x)$