Assinale a alternativa que representa o valor de equação log2 (x2 + 2) = log2x + log22x
Soluções para a tarefa
O valor da equação log₂(x² + 2) = log₂(x) + log₂(2x) é √2.
Observe que na equação logarítmica log₂(x² + 2) = log₂(x) + log₂(2x) temos uma soma de logaritmos de mesma base.
A propriedade da soma de logaritmos de mesma base nos diz que logₐ(x) + logₐ(y) = logₐ(x.y).
Sendo assim, vamos reescrever a equação dada no exercício:
log₂(x² + 2) = log₂(2x.x)
log₂(x² + 2) = log₂(2x²)
log₂(x² + 2) - log₂(2x²) = 0.
Observe que agora temos uma subtração de logaritmos de mesma base.
A propriedade da subtração de logaritmos de mesma base nos diz que logₐ(x) - logₐ(y) = logₐ(x/y).
Então:
log₂((x² + 2)/(2x²)) = 0.
A definição de logaritmo é igual a logₐ(b) = x ⇔ aˣ = b.
Portanto:
(x² + 2)/(2x²) = 2⁰
x² + 2 = 2x²
2x² - x² - 2 = 0
x² - 2 = 0
x² = 2
x = ±√2.
O logaritmando do logaritmo não pode ser negativo.
Então, concluímos que a solução é x = √2.