Question

Assinale a alternativa que representa o centro e o raio, respectivamente, da esfera representada pela equação x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0.
A) (0, 0, 0) e 4
B) (0. 0, 0) e 2
C) (2, 3, 0) e 4
D) (2, 3, 0) e 2
E) (-2, -3, 0) e 4

Answer 1

Bom dia adilson!

Solução!

Para determinar o centro da esfera temos duas opções para faze-lo:podemos completar os quadrados ou usar uma forma algébrica.Vou optar pela segunda que acho mais fácil.

$x_{0}= \dfrac{-a}{2}\\\\\\ y_{0} = \dfrac{-b}{2} \\\\\\ z_{0}= \dfrac{-z}{2}$

Equação.

$y^{2} + z^{2} -4x-6y+9=0$


Separando os coeficientes da equação para determinar seu centro.
$a=-4\\\\\ b=-6 \\\\\ z=0$

Substituindo no sistema algebrico acima determinamos o centro.

$x_{0}= \dfrac{-a}{2}\\\\\\ y_{0} = \dfrac{-b}{2} \\\\\\ z_{0}= \dfrac{-z}{2}$

$x_{0}= \dfrac{-(-4)}{2}\\\\\\ y_{0} = \dfrac{-(-6)}{2} \\\\\\ z_{0}= \dfrac{0}{2}$

$x_{0}= 2\\\\\\ y_{0} =3 \\\\\\ z_{0}= 0$

$C(2,3,0)$

Agora que encontramos o centro vamos determinar o raio.

Vamos usar a formula da distancia.

$r= \sqrt{ (x_{0})^{2} +y_{0}+z_{0} +d }$

$r= \sqrt{(2)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2} +(-9) }$

$r= \sqrt{4+9+0 -9 }$

$r= \sqrt{4}$

$r=2$

$\boxed{\boxed{Resposta:~~C(2,3,0)~~~r=2~~Alternativa ~~D }}$