Question

Assinale a alternativa que representa a série de Maclaurin da função g(x) = 1/(1-x)² sabendo que a série de Maclaurin da função f(x) = 1/1-x é:

1/1-x = 1 + x + x² + x³ + ... + x^n + ... , para -1 menor que x menor que 1

(Sugestão: use resultados que permitam, a partir da série de Maclaurin da função f, obter a série de Maclaurin da função g).

Respostas:

a) g(x) = x + x²/2 + x³/3 + x^4/4 + ... + x^n/n + ... , para -1 menor que x menor que 1.

b) g(x) = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... + nx^n-1 + ... , para -1 menor que x menor que 1.

c) g(x) = 2x + 3x² + 4x³ + ... + nx^n-1 + ... , para -1 menor que x menor que 1.

d) g(x) = 1 + 2x² + 3x³ + 4x^4 + ... + nx^n + ... para -1 menor que x menor que 1.

e) g(x) = x + x² + x³ + ... + x^n-1 + ... , para -1 menor que x menor que 1.

Answer 1

Resposta:

Alternativa correta: B.

Explicação passo-a-passo:

Esta questão está relacionada com séries de Taylor, assunto tratado quando estudamos derivadas.

Nesse caso, temos uma série e queremos calcular a outra série, tendo como base a primeira. Ao substituir o valor de x=0, pertencente ao intervalo imposto, temos g(x)=1. Com isso, podemos concluir que o termo independente é igual a 1, descartando as alternativas A, C e E.

Contudo, veja que a função g(x) é a derivada da função f(x), pois:

$f'(x)=\frac{0\times (1-x) - 1\times (-1)}{(1-x)^2} =\frac{1}{(1-x)^2}$

Desse modo, a série também deve ser a derivada da série da função f(x). Podemos encontrar isso na alternativa B, onde temos a derivada de cada termo.