Question

Assinale a alternativa que representa a série de Maclaurin da função g(x) = 1/(1-x)² sabendo que a série de Maclaurin da função f(x) = 1/1-x é:

1/1-x = 1 + x + x² + x³ + ... + x^n + ... , para -1 menor que x menos que 1

(Sugestão: use resultados que permitam, a partir da série de Maclaurin da função f, obter a série de Maclaurin da função g).

a) g(x) = x + x²/2 + x³/3 + x^4/4 + ... + x^n/n + ... , para -1 menor que x menor que 1.

b) g(x) = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... + nx^n-1 + ... , para -1 menor que x menor que 1.

c) g(x) = 2x + 3x² + 4x³ + ... + nx^n-1 + ... , para -1 menor que x menor que 1.

d) g(x) = 1 + 2x² + 3x³ + 4x^4 + ... + nx^n + ... para -1 menor que x menor que 1.

e) g(x) = x + x² + x³ + ... + x^n-1 + ... , para -1 menor que x menor que 1.

Answer 1

Resposta:

Alternativa B: g(x) = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... + nx^n-1 + ... , para -1 < x < 1.

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, vamos substituir o valor de x=0, pois assim eliminamos todos os termos e ficamos apenas com 1, pois:

$g(x)=\frac{1}{(1-0)^2}=\frac{1}{1}=1$

Com isso, podemos descartar as alternativas A, C e E, sobrando apenas as alternativas B e D.

Agora, vamos analisar as funções f(x) e g(x). Veja que g(x) é a função derivada de f(x). Isso ocorre utilizando a regra de derivação para frações:

$f'(x)=\frac{0\times (1-x) - 1\times (-1)}{(1-x)^2} =\frac{1}{(1-x)^2} =g(x)$

Desse modo, a série de Maclaurin (ou série de Taylor) também deve ser sua derivada. Assim, a sequência deve ser:

$g(x)=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^{n-1}$

Portanto, a sequência correta está presente na alternativa B.